Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens
Du kan bruke den interaktive simuleringen nedenfor i arbeidet med oppgavene.
Fiillat
2.1.1
Finn sinus, cosinus og tangens til følgende vinkler med simuleringen og med CAS i GeoGebra. I hvilken kvadrant ligger vinklene?
Tips til utregningen i GeoGebra
Legg inn alle vinklene i ei liste slik at du kan regne ut alt på én gang.
a) 30°
b) 60°
c) 135°
d) 225°
e) 300°
f) 360°
Løsning
For å slippe så mye inntasting er det lurt å legge alle vinklene inn i ei liste først, slik vi har gjort her.
a) 30°: Vinkelen ligger i første kvadrant.
b) 60°: Vinkelen ligger i første kvadrant.
c) 135°: Vinkelen ligger i andre kvadrant.
d) 225°: Vinkelen ligger i tredje kvadrant.
e) 300°: Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.
f) 360°: Vinkelen ligger mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av -aksen).
2.1.2
Bruk simuleringen. I hvilken kvadrant ligger vinkelen
a)
Løsning
b)
Løsning
c)
Løsning
d)
Løsning
e)
Løsning
f)
Løsning
2.1.3
a) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme sinusverdien som en vinkel i første kvadrant.
Løsning
Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen
b) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme cosinusverdien som en vinkel i første kvadrant.
Løsning
Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen
Vi kan også skrive dette som
c) Forklar hvorfor vinklene
Løsning
Først kan vi notere at siden vinkelbeina til
Av samme grunn får vi at
Da har vi at
Vi kan også skrive dette som
2.1.4
Bruk simuleringen øverst på siden til å løse oppgavene.
a) Finn to vinkler som er slik at
Løsning
b) Finn to vinkler som er slik at
Løsning
c) Finn to vinkler som er slik at
Løsning
d) Finn to vinkler som er slik at
Løsning
e) Finn to vinkler som er slik at
Løsning
f) Finn to vinkler som er slik at
Løsning
2.1.5
Bruk figuren til å forklare hvorfor
Tips til oppgaven
Bruk formlike trekanter.
Løsning
Vi har definisjonen
Denne rettvinklede trekanten er formlik med den rettvinklede trekanten der hjørnene er origo,
Alternativt kan vi bruke at
2.1.6
a) Du får vite følgende om vinklene
u , v ∈ [ 0 ° , 360 ° 〉 cos u = cos v sin u > sin v tan u > 0
I hvilken kvadrant ligger
Løsning
Siden vinklene har den samme cosinusverdien, må vinklene enten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, hvis de ikke er like.
Siden
Siden
b) Du får vite følgende om vinklene
u , v ∈ [ 0 ° , 360 ° 〉 sin u = sin v cos v > 0 tan u = 1
Finn vinklene.
Løsning
Når
Når
Vinklene har den samme sinusverdien. Dersom
Vi får til slutt at
c) Lag tilsvarende oppgaver som de to forrige, og prøv dem på noen medelever.
2.1.7
Lag et program som finner ut hvilken kvadrant en vinkel
Tips til oppgaven
Det er mange måter å gjøre dette på. Én metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innenfor eller mellom de ulike kvadrantene. En annen metode er å trekke 90 grader fra vinkelen helt til resultatet blir mindre enn 90 grader og telle hvor mange ganger 90 grader kan trekkes fra.
Løsning
Alternativ 1
Forslag til algoritme:
Sett variabelen "vinkel" lik
.- 1 Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".
Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".
Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".
Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om hvilke to kvadranter vinkelen ligger mellom.
Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så videre. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter hvilken test som slår til.
Alternativ 2
Dette alternativet gir et litt kortere program. Forslag til algoritme:
Sett variabelen "vinkel" lik
.- 1 Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".
Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".
Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".
Sett variabelen "testvinkel" lik "vinkel".
Sett variabelen "kvadrant" lik 1.
Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:
Sett "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.
Sett "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.
Hvis "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.'.
Eller hvis "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".
Hvis ikke, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger i <"kvadrant">. kvadrant.".
Forslag til program: