Finn sinus, cosinus og tangens til følgende vinkler med simuleringen og med CAS i GeoGebra. I hvilken kvadrant ligger vinklene?
Tips til utregningen i GeoGebra
Legg inn alle vinklene i ei liste slik at du kan regne ut alt på én gang.
a) 30°
b) 60°
c) 135°
d) 225°
e) 300°
f) 360°
Løsning
For å slippe så mye inntasting er det lurt å legge alle vinklene inn i ei liste først, slik vi har gjort her.
a) 30°: Vinkelen ligger i første kvadrant.
b) 60°: Vinkelen ligger i første kvadrant.
c) 135°: Vinkelen ligger i andre kvadrant.
d) 225°: Vinkelen ligger i tredje kvadrant.
e) 300°: Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.
f) 360°: Vinkelen ligger mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av -aksen).
2.1.2
Bruk simuleringen. I hvilken kvadrant ligger vinkelen v når
a) cosv<0∧sinv>0
Løsning
cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel v ligge i andre kvadrant.
b) tanv<0∧sinv>0
Løsning
tanv er mindre enn 0 i andre og fjerde kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel v ligge i andre kvadrant.
c) cosv<0∧sinv<0
Løsning
cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel v ligge i tredje kvadrant.
d) cosv<0∧tanv>0
Løsning
cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel v ligge i tredje kvadrant.
e) sinv>0∧tanv>0
Løsning
sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel v ligge i første kvadrant.
f) cosv>0∧sinv<0
Løsning
cosv er større enn 0 i første og fjerde kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel v ligge i fjerde kvadrant.
2.1.3
a) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme sinusverdien som en vinkel i første kvadrant.
Løsning
Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om y-aksen. Da får vi vinkel u på figuren. For u gjelder at u=180°-v, og u har da den samme sinusverdien som v, det vil si
sinu=sinv
u og v kalles supplementvinkler fordi de har den samme sinusverdien. Vi kan også skrive dette som
sin180°-v=sinv
b) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme cosinusverdien som en vinkel i første kvadrant.
Løsning
Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om x-aksen. Da får vi vinkel u på figuren. For u gjelder at u=360°-v, og u har da den samme cosinusverdien som v, det vil si
cosu=cosv
Vi kan også skrive dette som
cos360°-v=cosv
c) Forklar hvorfor vinklene u og v på figuren har den samme tangensverdien.
Løsning
Først kan vi notere at siden vinkelbeina til v og u ligger langs den samme linja (eller speiler hverandre om origo), får vi at
u=v+180°
Av samme grunn får vi at
cosu=-cosv∧sinu=-sinv
Da har vi at
tanu=sinucosu=-sinv-cosv=sinvcosv=tanv
Vi kan også skrive dette som
tanv+180°=tanv
2.1.4
Bruk simuleringen øverst på siden til å løse oppgavene.
a) Finn to vinkler som er slik at sinv=12.
Løsning
v=30°∨v=150°
b) Finn to vinkler som er slik at sinv=-12.
Løsning
v=210°∨v=330°
c) Finn to vinkler som er slik at cosv=12.
Løsning
v=60°∨v=300°
d) Finn to vinkler som er slik at cosv=-12.
Løsning
v=120°∨v=240°
e) Finn to vinkler som er slik at tanv=1.
Løsning
v=45°∨v=225°
f) Finn to vinkler som er slik at tanv=-1.
Løsning
v=135°∨v=315°
2.1.5
Bruk figuren til å forklare hvorfor tanv blir lik lengden av linjestykket AB.
Tips til oppgaven
Bruk formlike trekanter.
Løsning
Vi har definisjonen tanv=sinvcosv. På figuren har vi at sinv=b og cosv=a, og disse er motstående katet og hosliggende katet i forhold til vinkel v i den rettvinklede trekanten inni enhetssirkelen.
Denne rettvinklede trekanten er formlik med den rettvinklede trekanten der hjørnene er origo, A og B. Da kan vi sette opp
ba=AB1sinvcosv=ABtanv=AB
Alternativt kan vi bruke at
tanv=motståendekatethosliggendekatet=AB1=AB
2.1.6
a) Du får vite følgende om vinklene u og v:
u,v∈[0°,360°〉
cosu=cosv
sinu>sinv
tanu>0
I hvilken kvadrant ligger u, og i hvilken kvadrant ligger v?
Løsning
Siden vinklene har den samme cosinusverdien, må vinklene enten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, hvis de ikke er like.
Siden sinu>sinv, kan ikke vinklene være like, og det er u som ligger i enten første eller i andre kvadrant.
Siden tanu>0, må u ligge i første kvadrant, og da må v ligge i fjerde kvadrant.
b) Du får vite følgende om vinklene u og v:
u,v∈[0°,360°〉
sinu=sinv
cosv>0
tanu=1
Finn vinklene.
Løsning
Når tanu=1, betyr det at
u=45°∨u=45°+180°=225°
Når cosv>0, betyr det at v ligger enten i første eller fjerde kvadrant.
Vinklene har den samme sinusverdien. Dersom u=45°, må v=180°-45°=135°. Men da er cosv<0, så det går ikke. Dersom u=225°, det vil si ligger i tredje kvadrant, må v ligge i fjerde kvadrant for at vinklene skal ha den samme sinusverdien. Da er cosv>0, som er greit.
Vi får til slutt at
u=225°v=180°-225°=-45°=360°-45°=315°
c) Lag tilsvarende oppgaver som de to forrige, og prøv dem på noen medelever.
2.1.7
Lag et program som finner ut hvilken kvadrant en vinkel v ligger i når vi antar at v∈0°,360°. Programmet skal sjekke at vinkelen ikke ligger utenfor dette området. Husk at vinkelen kan ligge mellom to kvadranter dersom den for eksempel har verdien 90°. Husk å skrive algoritmen først.
Tips til oppgaven
Det er mange måter å gjøre dette på. Én metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innenfor eller mellom de ulike kvadrantene. En annen metode er å trekke 90 grader fra vinkelen helt til resultatet blir mindre enn 90 grader og telle hvor mange ganger 90 grader kan trekkes fra.
Løsning
Alternativ 1
Forslag til algoritme:
Sett variabelen "vinkel" lik -1.
Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".
Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".
Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".
Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om hvilke to kvadranter vinkelen ligger mellom.
Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så videre. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter hvilken test som slår til.
Alternativ 2
Dette alternativet gir et litt kortere program. Forslag til algoritme:
Sett variabelen "vinkel" lik -1.
Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".
Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".
Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".
Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:
Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".
Sett variabelen "testvinkel" lik "vinkel".
Sett variabelen "kvadrant" lik 1.
Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:
Sett "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.
Sett "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.
Hvis "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.'.
Eller hvis "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".
Hvis ikke, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger i <"kvadrant">. kvadrant.".