Njuike sisdollui
Bargobihttá

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens

Gjør oppgaver med sinus, cosinus og tangens i forbindelse med enhetssirkelen.

Du kan bruke den interaktive simuleringen nedenfor i arbeidet med oppgavene.

2.1.1

Finn sinus, cosinus og tangens til følgende vinkler med simuleringen og med CAS i GeoGebra. I hvilken kvadrant ligger vinklene?

Tips til utregningen i GeoGebra

Legg inn alle vinklene i ei liste slik at du kan regne ut alt på én gang.

a) 30°

b) 60°

c) 135°

d) 225°

e) 300°

f) 360°

Løsning

For å slippe så mye inntasting er det lurt å legge alle vinklene inn i ei liste først, slik vi har gjort her.

a) 30°: Vinkelen ligger i første kvadrant.

b) 60°: Vinkelen ligger i første kvadrant.

c) 135°: Vinkelen ligger i andre kvadrant.

d) 225°: Vinkelen ligger i tredje kvadrant.

e) 300°: Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.

f) 360°: Vinkelen ligger mellom første kvadrant og fjerde kvadrant (den positive delen av x-aksen).

2.1.2

Bruk simuleringen. I hvilken kvadrant ligger vinkelen v når

a) cosv<0    sinv>0

Løsning

cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel v ligge i andre kvadrant.

b) tanv<0    sinv>0

Løsning

tanv er mindre enn 0 i andre og fjerde kvadrant. sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. Da må vinkel v ligge i andre kvadrant.

c) cosv<0    sinv<0

Løsning

cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel v ligge i tredje kvadrant.

d) cosv<0    tanv>0

Løsning

cosv er mindre enn 0 i andre og tredje kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel v ligge i tredje kvadrant.

e) sinv>0    tanv>0

Løsning

sinv er større enn 0 i første og andre kvadrant. tanv er større enn 0 i første og tredje kvadrant. Da må vinkel v ligge i første kvadrant.

f) cosv>0    sinv<0

Løsning

cosv er større enn 0 i første og fjerde kvadrant. sinv er mindre enn 0 i tredje og fjerde kvadrant. Da må vinkel v ligge i fjerde kvadrant.

2.1.3

a) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme sinusverdien som en vinkel i første kvadrant.

Løsning

Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om y-aksen. Da får vi vinkel u på figuren. For u gjelder at u=180°-v, og u har da den samme sinusverdien som v, det vil si

sinu=sinv

u og v kalles supplementvinkler fordi de har den samme sinusverdien. Vi kan også skrive dette som

sin180°-v=sinv

b) Forklar hvordan du kan bruke symmetri på enhetssirkelen til å finne en vinkel som har den samme cosinusverdien som en vinkel i første kvadrant.

Løsning

Vi kan speile vinkelbeinet til vinkelen v på figuren om x-aksen. Da får vi vinkel u på figuren. For u gjelder at u=360°-v, og u har da den samme cosinusverdien som v, det vil si

cosu=cosv

Vi kan også skrive dette som

cos360°-v=cosv

c) Forklar hvorfor vinklene u og v på figuren har den samme tangensverdien.

Løsning

Først kan vi notere at siden vinkelbeina til v og u ligger langs den samme linja (eller speiler hverandre om origo), får vi at

u=v+180°

Av samme grunn får vi at

cosu=-cosv    sinu=-sinv

Da har vi at

tanu=sinucosu=-sinv-cosv=sinvcosv=tanv

Vi kan også skrive dette som

tanv+180°=tanv

2.1.4

Bruk simuleringen øverst på siden til å løse oppgavene.

a) Finn to vinkler som er slik at sinv=12.

Løsning

v=30°    v=150°

b) Finn to vinkler som er slik at sinv=-12.

Løsning

v=210°    v=330°

c) Finn to vinkler som er slik at cosv=12.

Løsning

v=60°    v=300°

d) Finn to vinkler som er slik at cosv=-12.

Løsning

v=120°    v=240°

e) Finn to vinkler som er slik at tanv=1.

Løsning

v=45°    v=225°

f) Finn to vinkler som er slik at tanv=-1.

Løsning

v=135°    v=315°

2.1.5

Bruk figuren til å forklare hvorfor tanv blir lik lengden av linjestykket AB.

Tips til oppgaven

Bruk formlike trekanter.

Løsning

Vi har definisjonen tanv=sinvcosv. På figuren har vi at sinv=b og cosv=a, og disse er motstående katet og hosliggende katet i forhold til vinkel v i den rettvinklede trekanten inni enhetssirkelen.

Denne rettvinklede trekanten er formlik med den rettvinklede trekanten der hjørnene er origo, A og B. Da kan vi sette opp

ba = AB1sinvcosv = ABtanv = AB

Alternativt kan vi bruke at

tanv=motstående katethosliggende katet=AB1=AB

2.1.6

a) Du får vite følgende om vinklene u og v:

  • u,v[0°, 360°

  • cosu=cosv

  • sinu>sinv

  • tanu>0

I hvilken kvadrant ligger u, og i hvilken kvadrant ligger v?

Løsning

Siden vinklene har den samme cosinusverdien, må vinklene enten ligge i første og fjerde kvadrant eller i andre og tredje kvadrant, hvis de ikke er like.

Siden sinu>sinv, kan ikke vinklene være like, og det er u som ligger i enten første eller i andre kvadrant.

Siden tanu>0, må u ligge i første kvadrant, og da må v ligge i fjerde kvadrant.

b) Du får vite følgende om vinklene u og v:

  • u,v[0°, 360°

  • sinu=sinv

  • cosv>0

  • tanu=1

Finn vinklene.

Løsning

Når tanu=1, betyr det at

u=45°    u=45°+180°=225°

Når cosv>0, betyr det at v ligger enten i første eller fjerde kvadrant.

Vinklene har den samme sinusverdien. Dersom u=45°, må v=180°-45°=135°. Men da er cosv<0, så det går ikke. Dersom u=225°, det vil si ligger i tredje kvadrant, må v ligge i fjerde kvadrant for at vinklene skal ha den samme sinusverdien. Da er cosv>0, som er greit.

Vi får til slutt at

u = 225°v = 180°-225°=-45°= 360°-45°=315°

c) Lag tilsvarende oppgaver som de to forrige, og prøv dem på noen medelever.

2.1.7

Lag et program som finner ut hvilken kvadrant en vinkel v ligger i når vi antar at v0°,360°. Programmet skal sjekke at vinkelen ikke ligger utenfor dette området. Husk at vinkelen kan ligge mellom to kvadranter dersom den for eksempel har verdien 90°. Husk å skrive algoritmen først.

Tips til oppgaven

Det er mange måter å gjøre dette på. Én metode er å teste direkte om vinkelen har verdi innenfor eller mellom de ulike kvadrantene. En annen metode er å trekke 90 grader fra vinkelen helt til resultatet blir mindre enn 90 grader og telle hvor mange ganger 90 grader kan trekkes fra.

Løsning

Alternativ 1

Forslag til algoritme:

  • Sett variabelen "vinkel" lik -1.

  • Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".

  • Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

    • Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".

    • Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".

    • Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

      • Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".

  • Test om "vinkel" har verdien 0, 90, 180, 270 eller 360, og gi tilbakemelding om hvilke to kvadranter vinkelen ligger mellom.

  • Test om "vinkel" har verdi mellom 0 og 90 for første kvadrant, 90 og 180 for andre kvadrant og så videre. Gi tilbakemelding om kvadrant alt etter hvilken test som slår til.

python
1vinkel = -1
2print("Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel")
3print("med verdi fra og med 0° til og med 360° ligger i.")
4    # tester om vinkelen er utenfor området,
5    # og lar brukeren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn størrelsen på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utenfor det gyldige området.")
10
11if vinkel == 0 or vinkel == 360:
12  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom første og fjerde kvadrant.")
13elif vinkel == 90:
14  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom første og andre kvadrant.")
15elif vinkel == 180:
16  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom andre og tredje kvadrant.")
17elif vinkel == 270:
18  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom tredje og fjerde kvadrant.")
19
20elif vinkel < 90:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i første kvadrant.")
22elif vinkel > 90 and vinkel < 180:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i andre kvadrant.")
24elif vinkel > 180 and vinkel < 270:
25  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i tredje kvadrant.")
26else:
27  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i fjerde kvadrant.")

Alternativ 2

Dette alternativet gir et litt kortere program. Forslag til algoritme:

  • Sett variabelen "vinkel" lik -1.

  • Skriv til skjermen "Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel fra og med 0° til og med 360° ligger i.".

  • Så lenge "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

    • Skriv til skjermen "Skriv inn størrelsen på vinkelen: ".

    • Ta imot verdien fra brukeren og lagre den i variabelen "vinkel".

    • Hvis "vinkel" er mindre enn 0 eller større enn 360:

      • Skriv til skjermen "Vinkelen <vinkel>° er utenfor det gyldige området.".

  • Sett variabelen "testvinkel" lik "vinkel".

  • Sett variabelen "kvadrant" lik 1.

  • Så lenge "testvinkel" er større eller lik 90:

    • Sett "testvinkel" lik "testvinkel" minus 90.

    • Sett "kvadrant" lik "kvadrant" pluss 1.

  • Hvis "vinkel" er 0 eller 360, skriv til skjermen 'Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.'.

  • Eller hvis "testvinkel" er lik 0, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger mellom kvadrantene <"kvadrant" minus 1> og <"kvadrant">.".

  • Hvis ikke, skriv til skjermen "Vinkelen <"vinkel">° ligger i <"kvadrant">. kvadrant.".

Forslag til program:

python
1vinkel = -1
2print("Dette programmet finner ut hvilken kvadrant en vinkel")
3print("med verdi fra og med 0° til og med 360° ligger i.")
4    # tester om vinkelen er utenfor området,
5    # og lar brukeren eventuelt skrive inn vinkelen på nytt
6while vinkel < 0 or vinkel > 360:
7  vinkel = float(input("Skriv inn størrelsen på vinkelen: "))
8  if vinkel < 0 or vinkel > 360:
9    print(f"Vinkelen {vinkel}° er utenfor det gyldige området.")
10
11testvinkel = vinkel
12kvadrant = 1
13
14while testvinkel >= 90:
15  testvinkel = testvinkel - 90
16  kvadrant = kvadrant + 1
17  
18if vinkel == 0 or vinkel == 360:  # disse to alternativene behandles spesielt
19  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom kvadrantene 1 og 4.")
20elif testvinkel == 0:
21  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger mellom kvadrantene {kvadrant - 1} og {kvadrant}.")
22else:
23  print(f"Vinkelen {vinkel}° ligger i {kvadrant}. kvadrant.")