Eksakte trigonometriske verdier
Før du går løs på oppgavene her, bør du gjøre øvelsen nederst på teorisiden "Eksakte trigonometriske verdier". Øv på å kunne de eksakte verdiene i øvelsen.
Oppgavene skal løses uten hjelpemidler.
2.1.30
Først skal du lage en hjelpefigur til de to neste oppgavene.
Tegn en enhetssirkel.
Tegn en vinkel i første omløp.
Tegn inn vinklene
,180 ° - v og180 ° + v .360 ° - v
Løsning
2.1.31
Skriv svarene i radianer.
a) Hvilken vinkel i første kvadrant har sinusverdi
Løsning
b) Hvilken vinkel i første kvadrant har cosinusverdi
Løsning
c) Hvilken vinkel i første kvadrant har tangensverdi
Løsning
d) Hvilken vinkel i andre kvadrant har sinusverdi
Løsning
Supplementvinkelen til en vinkel i andre kvadrant ligger i første kvadrant og har samme sinusverdi. Siden
e) Hvilken vinkel i tredje kvadrant har sinusverdi
Løsning
En vinkel i første kvadrant har motsatt sinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Siden
f) Hvilken vinkel i fjerde kvadrant har sinusverdi
Løsning
En vinkel
g) Hvilken vinkel i tredje kvadrant har cosinusverdi
Løsning
En vinkel i tredje kvadrant har motsatt cosinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant er
h) Hvilken vinkel i fjerde kvadrant har tangensverdi
Løsning
Alle vinkler i fjerde kvadrant har negativ tangensverdi. Altså finnes det ingen vinkel i fjerde kvadrant med tangensverdi 1.
i) Hvilke vinkler i første omløp har sinusverdi
Løsning
Dette må være to supplementvinkler der den ene ligger i første kvadrant og den andre ligger i andre kvadrant siden de har positiv sinusverdi. Vinklene er
j) Hvilke vinkler i første omløp har cosinusverdi
Løsning
Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i tredje kvadrant siden vinklene har negativ cosinusverdi. Vi kan finne vinkelen i andre kvadrant ved å bruke at den må ha motsatt cosinusverdi av supplementvinkelen, som må være
k) Hvilke vinkler i første omløp har tangensverdi
Løsning
Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden tangensverdien er negativ. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel
l) Hvilke vinkler i første omløp har sinusverdi
Løsning
Dette må være to vinkler der den ene ligger i tredje kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden vinklene har negativ sinusverdi. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel
2.1.32
a) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.
Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til 150°. Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at
b) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.
Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til
c) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen
d) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn
e) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen
f) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen
Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at
g) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er 180° mindre enn 225°.
45° har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 225°. Vi får at
h) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen
i) Finn de eksakte verdiene til
Løsning
Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn
2.1.33
I firkanten
a) Finn lengden
Løsning
Vi tegner en hjelpefigur.
Trekanten
b) Finn den eksakte høyden fra
Løsning
Oppgaven spør etter
c) Finn det eksakte arealet av firkanten
Tips til oppgaven
Del opp firkanten i to trekanter.
Løsning
Vi deler opp firkanten
d) Sett
Løsning
Når
Da får vi