Først skal du lage en hjelpefigur til de to neste oppgavene.
Tegn en enhetssirkel.
Tegn en vinkel i første omløp.
Tegn inn vinklene 180°-v, 180°+v og 360°-v.
Løsning
2.1.31
Skriv svarene i radianer.
a) Hvilken vinkel i første kvadrant har sinusverdi 123?
Løsning
π3
b) Hvilken vinkel i første kvadrant har cosinusverdi 123?
Løsning
π6
c) Hvilken vinkel i første kvadrant har tangensverdi 133?
Løsning
π6
d) Hvilken vinkel i andre kvadrant har sinusverdi 123?
Løsning
Supplementvinkelen til en vinkel i andre kvadrant ligger i første kvadrant og har samme sinusverdi. Siden sinπ3=123, blir vinkelen
π-π3=2π3
e) Hvilken vinkel i tredje kvadrant har sinusverdi -123?
Løsning
En vinkel i første kvadrant har motsatt sinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Siden sinπ3=123, blir vinkelen i tredje kvadrant
π+π3=4π3
f) Hvilken vinkel i fjerde kvadrant har sinusverdi -123?
Løsning
En vinkel v i første kvadrant har motsatt sinusverdi som vinkelen 2π-v i fjerde kvadrant. Vinkelen i fjerde kvadrant er
2π-π3=6π3-π3=5π3
g) Hvilken vinkel i tredje kvadrant har cosinusverdi -123?
Løsning
En vinkel i tredje kvadrant har motsatt cosinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant er
π+π6=7π6
h) Hvilken vinkel i fjerde kvadrant har tangensverdi 1?
Løsning
Alle vinkler i fjerde kvadrant har negativ tangensverdi. Altså finnes det ingen vinkel i fjerde kvadrant med tangensverdi 1.
i) Hvilke vinkler i første omløp har sinusverdi 12?
Løsning
Dette må være to supplementvinkler der den ene ligger i første kvadrant og den andre ligger i andre kvadrant siden de har positiv sinusverdi. Vinklene er
π6 og π-π6=5π6
j) Hvilke vinkler i første omløp har cosinusverdi -122?
Løsning
Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i tredje kvadrant siden vinklene har negativ cosinusverdi. Vi kan finne vinkelen i andre kvadrant ved å bruke at den må ha motsatt cosinusverdi av supplementvinkelen, som må være π4. Vinkelen i tredje kvadrant må være π større enn π4. Vinklene er
π-π4=3π4 og π+π4=5π4
k) Hvilke vinkler i første omløp har tangensverdi -1?
Løsning
Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden tangensverdien er negativ. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel v i første kvadrant har motsatt tangensverdi av vinkelen 2π-v, som ligger i fjerde kvadrant. Den andre vinkelen er π mindre enn denne. Vinklene er
2π-π4=8π4-π4=7π4 og 7π4-π=3π4
l) Hvilke vinkler i første omløp har sinusverdi -122?
Løsning
Dette må være to vinkler der den ene ligger i tredje kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden vinklene har negativ sinusverdi. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel v i første kvadrant må ha motsatt sinusverdi av vinkelen 2π-v, som ligger i fjerde kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant må være π større enn v siden π+v også har motsatt sinusverdi av v. Vinklene er
2π-π4=7π4 og π+π4=5π4
2.1.32
a) Finn de eksakte verdiene til sin150°, cos150° og tan150°.
Løsning
Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.
Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til 150°. Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at
tan150° kan vi også finne ved å regne ut sin150°cos150°.
b) Finn de eksakte verdiene til sin2π3, cos2π3 og tan2π3.
Løsning
Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.
Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til 2π3. Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at
c) Finn de eksakte verdiene til sin300°, cos300° og tan300°.
Løsning
Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen 360°-300°=60°. Denne vinkelen har samme cosinusverdi og motsatt sinus- og tangensverdi som 300°. Vi får at
d) Finn de eksakte verdiene til sin4π3, cos4π3 og tan4π3.
Løsning
Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 4π3.
4π3-π=π3
π3 har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 4π3. Vi får at
sin4π3=-sinπ3=-123cos4π3=-cosπ3=-12tan4π3=tanπ3=3
e) Finn de eksakte verdiene til sin7π4, cos7π4 og tan7π4.
Løsning
Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen
2π-7π4=84-74π=π4
π4 har motsatt sinus- og tangensverdi og samme sinusverdi som 7π4. Vi får at
g) Finn de eksakte verdiene til sin225°, cos225° og tan225°.
Løsning
Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er 180° mindre enn 225°.
225°-180°=45°
45° har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 225°. Vi får at
i) Finn de eksakte verdiene til sin7π6, cos7π6 og tan7π6.
Løsning
Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 7π6.
7π6-π=π6
π6 har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 4π3. Vi får at