Njuike sisdollui
Bargobihttá

Eksakte trigonometriske verdier

Øv på å finne eksakte trigonometriske verdier her.

Før du går løs på oppgavene her, bør du gjøre øvelsen nederst på teorisiden "Eksakte trigonometriske verdier". Øv på å kunne de eksakte verdiene i øvelsen.

Oppgavene skal løses uten hjelpemidler.

2.1.30

Først skal du lage en hjelpefigur til de to neste oppgavene.

  • Tegn en enhetssirkel.

  • Tegn en vinkel v i første omløp.

  • Tegn inn vinklene 180°-v, 180°+v og 360°-v.

Løsning

2.1.31

Skriv svarene i radianer.

a) Hvilken vinkel i første kvadrant har sinusverdi 123?

Løsning

π3

b) Hvilken vinkel i første kvadrant har cosinusverdi 123?

Løsning

π6

c) Hvilken vinkel i første kvadrant har tangensverdi 133?

Løsning

π6

d) Hvilken vinkel i andre kvadrant har sinusverdi 123?

Løsning

Supplementvinkelen til en vinkel i andre kvadrant ligger i første kvadrant og har samme sinusverdi. Siden sinπ3=123, blir vinkelen

π-π3=2π3

e) Hvilken vinkel i tredje kvadrant har sinusverdi -123?

Løsning

En vinkel i første kvadrant har motsatt sinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Siden sinπ3=123, blir vinkelen i tredje kvadrant

π+π3=4π3

f) Hvilken vinkel i fjerde kvadrant har sinusverdi -123?

Løsning

En vinkel v i første kvadrant har motsatt sinusverdi som vinkelen 2π-v i fjerde kvadrant. Vinkelen i fjerde kvadrant er

2π-π3=6π3-π3=5π3

g) Hvilken vinkel i tredje kvadrant har cosinusverdi -123?

Løsning

En vinkel i tredje kvadrant har motsatt cosinusverdi av vinkelen som er π større og dermed ligger i tredje kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant er

π+π6=7π6

h) Hvilken vinkel i fjerde kvadrant har tangensverdi 1?

Løsning

Alle vinkler i fjerde kvadrant har negativ tangensverdi. Altså finnes det ingen vinkel i fjerde kvadrant med tangensverdi 1.

i) Hvilke vinkler i første omløp har sinusverdi 12?

Løsning

Dette må være to supplementvinkler der den ene ligger i første kvadrant og den andre ligger i andre kvadrant siden de har positiv sinusverdi. Vinklene er

π6 og π-π6=5π6

j) Hvilke vinkler i første omløp har cosinusverdi -122?

Løsning

Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i tredje kvadrant siden vinklene har negativ cosinusverdi. Vi kan finne vinkelen i andre kvadrant ved å bruke at den må ha motsatt cosinusverdi av supplementvinkelen, som må være π4. Vinkelen i tredje kvadrant må være π større enn π4. Vinklene er

π-π4=3π4 og π+π4=5π4

k) Hvilke vinkler i første omløp har tangensverdi -1?

Løsning

Dette må være to vinkler der den ene ligger i andre kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden tangensverdien er negativ. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel v i første kvadrant har motsatt tangensverdi av vinkelen 2π-v, som ligger i fjerde kvadrant. Den andre vinkelen er π mindre enn denne. Vinklene er

2π-π4=8π4-π4=7π4 og 7π4-π=3π4

l) Hvilke vinkler i første omløp har sinusverdi -122?

Løsning

Dette må være to vinkler der den ene ligger i tredje kvadrant og den andre ligger i fjerde kvadrant siden vinklene har negativ sinusverdi. Vi kan finne vinkelen i fjerde kvadrant ved å bruke at en vinkel v i første kvadrant må ha motsatt sinusverdi av vinkelen 2π-v, som ligger i fjerde kvadrant. Vinkelen i tredje kvadrant må være π større enn v siden π+v også har motsatt sinusverdi av v. Vinklene er

2π-π4=7π4 og π+π4=5π4

2.1.32

a) Finn de eksakte verdiene til sin150°, cos150° og tan150°.

Løsning

Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.

Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til 150°. Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at

sin150° = sin180°-150°=sin30°=12cos150° = -cos30°=-123tan150° = -tan30°=-133

tan150° kan vi også finne ved å regne ut sin150°cos150°.

b) Finn de eksakte verdiene til sin2π3, cos2π3 og tan2π3.

Løsning

Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Nedenfor har vi tatt bort de vinklene fra hjelpefiguren som vi ikke trenger.

Vi finner eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen til 2π3. Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at

sin2π3 = sinπ-2π3=sinπ3=123cos2π3 = -cosπ3=-12tan2π3 = -tanπ3=-3

c) Finn de eksakte verdiene til sin300°, cos300° og tan300°.

Løsning

Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen 360°-300°=60°. Denne vinkelen har samme cosinusverdi og motsatt sinus- og tangensverdi som 300°. Vi får at

sin300° = -sin60°=-123cos300° = cos60°=12tan300° = -tan60°=-3

d) Finn de eksakte verdiene til sin4π3, cos4π3 og tan4π3.

Løsning

Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 4π3.

4π3-π=π3

π3 har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 4π3. Vi får at

sin4π3 = - sinπ3=-123cos4π3 = - cosπ3=-12tan4π3 = tanπ3=3

e) Finn de eksakte verdiene til sin7π4, cos7π4 og tan7π4.

Løsning

Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen

2π-7π4=84-74π=π4

π4 har motsatt sinus- og tangensverdi og samme sinusverdi som 7π4. Vi får at

sin7π4 = - sinπ4=-122cos7π4 =  cosπ4=122tan7π4 = -tanπ4=-1

f) Finn de eksakte verdiene til sin3π4, cos3π4 og tan3π4.

Løsning

Vinkelen er i andre omløp, som tilsvarer den grønne vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av supplementvinkelen

π-3π4=π4

Supplementvinkler har samme sinusverdi og motsatt cosinus- og tangensverdi. Vi får at

sin3π4 = sinπ4=122cos3π4 = -cosπ4=-122tan3π4 = -tanπ4=-1

g) Finn de eksakte verdiene til sin225°, cos225° og tan225°.

Løsning

Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er 180° mindre enn 225°.

225°-180°=45°

45° har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 225°. Vi får at

sin225° = - sin45°=-122cos225° = - cos45°=-122tan225° = tan45°=1

h) Finn de eksakte verdiene til sin11π6, cos11π6 og tan11π6.

Løsning

Vinkelen er i fjerde omløp, som tilsvarer den svarte vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen

2π-11π6=126-116π=π6

π6 har motsatt sinus- og tangensverdi og samme sinusverdi som 11π6. Vi får at

sin11π6 = - sinπ6=-12cos11π6 =  cosπ6=123tan11π6 = -tanπ6=-133

i) Finn de eksakte verdiene til sin7π6, cos7π6 og tan7π6.

Løsning

Vinkelen er i tredje omløp, som tilsvarer den blå vinkelen på hjelpefiguren i a). Vi finner derfor eksaktverdiene ved hjelp av vinkelen som er π mindre enn 7π6.

7π6-π=π6

π6 har motsatt sinus- og cosinusverdi og samme tangensverdi som 4π3. Vi får at

sin7π6 = - sinπ6=-12cos7π6 = - cosπ6=-123tan7π6 = tanπ6=133

2.1.33

I firkanten ABCD er AB=AC=AD=1, BAC=60° og BAD=90°.

a) Finn lengden BC.

Løsning

Vi tegner en hjelpefigur.

Trekanten ABC er likesidet siden AB=AC=1 og A=60°, for da må B=C=180°-60°2=60°. Det betyr at BC=1.

b) Finn den eksakte høyden fra C ned på AB.

Løsning

Oppgaven spør etter h på figuren i a).

sin60° = motstående katethypotenus=hAC=h1=hh = sin60°=123

c) Finn det eksakte arealet av firkanten ABCD.

Tips til oppgaven

Del opp firkanten i to trekanter.

Løsning

Vi deler opp firkanten ABCD i trekantene ABC og ACD. I trekanten ACD bruker vi AD som grunnlinje fordi høyden fra C til AD må være halvparten av AB.

ArealABCD = ArealABC+ArealACD= AB·h2+AD·12AB2= 1·1232+1·12·12= 123+122= 3+14

d) Sett AB=r og finn arealet av firkanten ABCD uttrykt ved r.

Løsning

Når AB=r, får vi også at AC=AD=r og

sin60° = motstående katethypotenus=hrh = r·sin60°= r·123= r23

Da får vi

ArealABCD = ArealABC+ArealACD= AB·h2+AD·12AB2= r·r232+r·12·r2= r2·123+r2122= r2·3+14