Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Vinkler som ikke ligger mellom 0° og 360°

Hva betyr det at en vinkel er større enn 360°? Hva vil det si at en vinkel er negativ?

Negative vinkler

På enhetssirkelen har vi at positiv rotasjonsretning er mot urviseren. Negativ rotasjonsretning blir da med urviseren.

Vi kan si at den positive vinkelen v oppstår ved at vi roterer punktet P1 om origo fra punktet (1, 0) i positiv retning på enhetssirkelen til der det ligger på figuren. Vi har markert rotasjonsretningen på vinkelmarkeringa i figuren.

v er vinkelen mellom den positive x-aksen og linjestykket OP1 fra origo til P1.

Den tilsvarende negative vinkelen v oppstår ved at vi roterer punktet P2 like mye om origo fra punktet (1, 0) som punktet P1, men i negativ retning på enhetssirkelen.

Bruk figuren og avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er riktige.

Vinkler som er større enn 360°

Prøv å regne ut sin450°med kalkulator eller med GeoGebra. Hva får du til svar?

Svar

Kjenner du en annen vinkel som har sinusverdi lik 1?

Svar

En vinkel på 90° har sinusverdi lik 1. Matematisk blir det

sin90°=1


En rotasjon på 360° kalles et omløp. Da har vi gått rundt hele enhetssirkelen. En vinkel v[0°,360° er en vinkel i første omløp.

Vi kan også la et punkt rotere mer enn 360° på enhetssirkelen. Vi får da en vinkel som er større enn 360°.

Figuren viser vinkelen v=495° tegnet i et koordinatsystem. Vinkelbeina til en vinkel på 495° er de samme som vinkelbeina til en vinkel på 495°360°=135°. Vi sier at vinkelen på 135° ligger i første omløp, og vinkelen på 495° ligger i andre omløp.

Hvor mange grader er den minste vinkelen i tredje omløp?

Svar

Den minste vinkelen i tredje omløp får vi når vi når vi går to hele runder. Vi får

v=2·360°=720°

Vinkelbeina til v vil sammenfalle med vinkelbeina til vinklene 360°og 0°.

Generelt vil vinkelbeina til to vinkler u og v falle sammen dersom

u=v+k·360°

der k er et helt tall. Disse vinklene får da de samme verdiene for sinus, cosinus og tangens.

Har du hørt idrettsutøvere snakke om rotasjoner på 720°, dobbel salto?

Prøv selv!

Nedenfor kan du øke vinkelen v til mer enn 360°ved å dra i glidebryteren.

Hva er den største verdien vinkelen v kan ha i simuleringa over, og hvor mange omløp tilsvarer det?

Svar

Ved å dra glidebryteren helt til høyre får vi at vinkelen v=1 080°.

Vi observerer at punktet P roterer tre hele ganger rundt origo fra 0°til 1 080°. Det betyr at en vinkel på 1 080°tilsvarer tre hele omløp.

Vi kan også regne ut antall omløp ved å dele på antall grader per omløp (360): 

1 080°360 °/omløp=3 omløp

Finn alle vinklene i simuleringa som har sinusverdi lik 0,5.

Resultat

Vi starter med v=0°, drar glidebryteren til enden og noterer alle vinklene som har sinusverdi lik 0,5. Det er totalt 6 vinkler, to for hvert omløp.

30°,150°390°,510°750°,870°

På løsningsmengdeform kan vi skrive dette som

L=30°, 150°, 390°, 510°, 750°, 870°

Kvadranter og vinkler større enn 360 grader

Kvadranter og vinkler som er større enn 360°. Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0