Njuike sisdollui
Bargobihttá

Radianer – absolutte vinkelmål

Bli kjent med radianer som mål på vinkler.

2.1.30

Gjør om vinklene fra grader til radianer uten hjelpemidler.

a) 30°

Løsning

30°=30·π180=3π18=π6

b) 45°

Løsning

45°=45·π180=π4

c) 70°

Løsning

70°=70·π180=7π18

d) 100°

Løsning

100°=100·π180=10π18=5π9

e) 390°

Løsning

390°=390·π180=39π18=13π6

f) -60°

Løsning

-60°=-60·π180=-6π18=-π3

2.1.31

Hva blir vinklene i grader? Du kan bruke hjelpemidler på d) og e).

a) π3

Løsning

π3=π3·180π°=60°

b) 5π9

Løsning

5π9=5π9·180π°=100°

c) 9π10

Løsning

9π10=9π10·180π°=9·18°=162°

d) 3,56

Løsning

e) -2,34

Løsning

2.1.32

Hjelpefigur til oppgaven

Sirkel med vinkler målt i radianer

Vinklene nedenfor er gitt i radianer. I hvilken kvadrant ligger hver av vinklene?

a) π5

Løsning

0<π5<π2

Vinkelen ligger i første kvadrant.

b) 5π6

Løsning

π2<5π6<π

Vinkelen ligger i andre kvadrant.

c) 7π4

Løsning

3π2<7π4<2π

Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.

d) 2

Løsning

π2<2<π

Vinkelen ligger i andre kvadrant.

e) 3,5

Løsning

π<3,5<3π2

Vinkelen ligger i tredje kvadrant.

f) 1,2

Løsning

0<1,2<π2

Vinkelen ligger i første kvadrant.

g) 5

Løsning

3π2<5<2π

Vinkelen ligger i fjerde kvadrant.

2.1.33

a) I en sirkelsektor er buelengden 5 og radien 4. Hvor stor er vinkelen i sirkelsektoren? Gi svaret både i radianer og i grader.

Løsning

Her kan vi bruke definisjonen på en vinkel målt i radianer:

v=br

Vi får at v=54=225π°=71,6°.

b) I en annen sirkelsektor er buelengden 2 og vinkelen 30°. Tegn en skisse av sirkelsektoren og finn radien i sirkelsektoren.

Løsning

Først regner vi om vinkelen fra grader til radianer i linje 2. Så lager vi likning av formelen for en vinkel som buen delt på radien. Vi får til slutt at

r=12π

2.1.34

Hva betyr gradsymbolet (°) i GeoGebra?

a) Du skal finne sinus til en vinkel på 35° med GeoGebra. Sammenlikn kommandoene sin(35°) med kommandoen sin(35). Bruk tilnærmet svar. Hvilken kommando gir riktig svar? (Husk at du kan få gradsymbolet i GeoGebra med tastekombinasjonen Alt + O.)

Løsning

Du husker kanskje fra matematikk 1T at vi må skrive inn gradsymbolet når vi skal bruke de trigonometriske funksjonene. Det er altså den første utregningen som er riktig. Vi kan også se det ut ifra at vi vet at sin30°=0,5, og at 35° er litt større en 30° slik at sinus til 35° må være litt større enn sinus til 30°.

Framgangsmåten i andre linje kan ikke være riktig, for en vinkel i første kvadrant kan ikke ha negativ sinusverdi.

b) Vi skal utforske hva gradsymbolet betyr. Prøv kommandoen 45°. Hva betyr svaret?

Løsning

Svaret er 45 grader omgjort til radianer.

c) Hva gjør gradsymbolet i den forrige utregningen?

Tips til oppgaven

Prøv for eksempel kommandoene 90°, , ° og (π/4)/°.

Løsning

Gradsymbolet regner om en vinkel i grader til en vinkel i radianer. Det er det samme som å multiplisere med π og dele på 180. Gradsymbolet i GeoGebra betyr rett og slett konstanten π180, og utregningene under "Tips til oppgaven" bekrefter det.

d) Hva kan vi bruke gradsymbolet i GeoGebra til, etter det vi fant ut i oppgave c)?

Løsning

Vi kan gjøre om en vinkel i grader til en vinkel i radianer ved å multiplisere vinkelen med °. Motsatt kan vi gjøre om en vinkel i radianer til en vinkel i grader ved å dele på °.

e) Hva betyr det at vi må ha med gradsymbolet når vi for eksempel skal finne sin30° med GeoGebra?

Tips til oppgaven

Prøv kommandoen sin(π/6).

Løsning

Når 30 multipliseres med gradsymbolet, betyr det, ut ifra resultatet i oppgave d), at vinkelen blir gjort om til radianer. Det vil si at når GeoGebra skal bruke trigonometriske funksjoner, må vinkelen alltid være oppgitt i radianer. Vi får bekreftet det ved å prøve kommandoen under "Tips til oppgaven".

f) I oppgave a) ble du bedt om å regne ut sin(35) (uten gradsymbolet) med GeoGebra. Hva er det egentlig du regner ut?

Løsning

Du regner ut sinus til vinkelen 35 (målt i radianer). Denne vinkelen er sammenfallende med vinkelen

35-5·2π=35-31,4=3,6

Dette er en vinkel tredje kvadrant (litt større enn π) og vil derfor ha negativ sinusverdi. Utregningen over viser at vinkelen 35 er en vinkel i sjette omløp.

2.1.35

Bildet viser ei litt spesiell klokke.

a) Hva er de vanlige klokkeslettene byttet ut med?

Løsning

De vanlige klokkeslettene er byttet ut med vinkelmål i radianer slik vi framstiller dem i enhetssirkelen.

b) Hvor bør viserne stå når klokka viser midnatt?

Løsning

Viserne bør peke på 0 eller det største tallet på klokka – 2π. Det betyr at midnatt (og klokka 12.00) er når begge viserne peker rett til høyre.

c) Hvilken vei bør klokka gå?

Løsning

Klokka bør gå den veien som gjør at klokkeslettene øker gradvis. Denne klokka bør altså gå i positiv rotasjonsretning i enhetssirkelen, det vil si motsatt av ei vanlig analog klokke ("mot klokka").

d) Hva er klokka når langviseren peker på 2π og kortviseren peker på π/2?

Løsning

Når langviseren peker på 2π, er klokka en hel time. Når kortviseren peker på π/2, er klokka π/2. Dette er tre timer etter midnatt (eller etter klokka 12 midt på dagen). Det betyr at klokkeslettet er 03.00 eller 15.00. Uansett er klokka 3.

e) Hva er klokka på bildet?

Løsning

Langviseren står rett opp. Det er 15 minutter etter at langviseren sto rett til høyre på hel time. Det betyr at klokka er "kvart over" noe.

Kortviseren står på 7π6. Det er 7 timer siden midnatt (eller siden klokka 12.00). Klokka er altså kvart over 7.

(Strengt tatt burde kortviseren ha vært litt forbi 7π6 siden klokka er kvart over.)

f) Finn uten hjelpemidler hvor stor vinkel det er mellom viserne til klokka på bildet. Gi svaret både i radianer og grader.

Løsning

Vinkelen målt i radianer er

7π6-π2=76-36π=46π=23π

Vinkelen målt i grader er

23π·180°π=2·60°=120°

g) Hvor stor vinkel er det mellom viserne når klokka er 56π?

Løsning

Når klokka er 56π, står kortviseren på 56π og langviseren på 2π, det vil si 0. Da er vinkelen mellom viserne det samme som klokkeslettet, altså 56π=150°.