Rasjonale funksjoner
3.3.40
Tegn grafen til funksjonen .
Vis fasit
3.3.41
Tegn grafen til funksjonene gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor, og bestem asymptotene.
a)
Vis fasit
Den vertikale asymptoten finner vi ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik 0.
Vi får som gir .
Den vertikale asymptoten blir .
Den horisontale asymptoten finner vi ved å la -leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive .
Horisontal asymptote blir .
I GeoGebra kan vi finne begge asymptotene ved kommandoen Asymptote(f)
.
b)
Vis fasit
Vi har som gir den vertikale asymptoten .
Den horisontale asymptoten finner vi ved å la -leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive .
Horisontal asymptote blir .
c)
Vis fasit
Vi har som gir den vertikale asymptoten .
Den horisontale asymptoten finner du ved å la -leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive .
Horisontal asymptote blir (altså -aksen).
d)
Vis fasit
Vi har som gir den vertikale asymptoten .
Her har vi i tillegg en skråasymptote .
(Du finner eventuelle skråasymptoter i GeoGebra på samme måte som du finner vertikale og horisontale asymptoter.)
3.3.42
Morten hadde på 2000-tallet et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene per minutt for Mortens mobilbruk en måned han ringer minutter kan skrives som
a) Tegn grafen til for -verdier mellom 0 og 1400.
Vis fasit
Vi bruker kommandoen til å tegne funksjonen.
b) Hva nærmer kostnadene seg per minutt når Morten ringer svært mye?
Vis fasit
Når Morten ringer svært mye, vil den faste månedsavgiften bety svært lite, og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Se linja
c) Hva blir prisen per minutt dersom Morten en måned ringer 300 minutter?
Vis fasit
Vi skriver inn punktet
d) Hvor mye må Morten ringe dersom det skal koste 60 øre per minutt?
Vis fasit
Vi tegner linja
3.3.43
En bedrift produserer sykkelhjelmer. Ved en produksjon av
a) Hva er totalkostnaden ved produksjon av 300 hjelmer?
Vis fasit
Det koster 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmer.
b) Vis at gjennomsnittskostnaden
Vis fasit
c) Tegn grafen til
Vis fasit
Vi bruker kommandoen
til å tegne grafen.
d) Hva er gjennomsnittskostnaden per hjelm når totalkostnaden er 84 300 kr?
Vis fasit
Med en totalkostnad på 84 300 kr produseres det 492 sykkelhjelmer.
Dette gir en gjennomsnittskostnad på
Når det produseres hjelmer for 84 300 kr, koster hver hjelm 171 kr.
3.3.44
Vi ser på den rasjonale funksjonen
a) Er funksjonen definert for alle verdier av
Vis fasit
Vi kan ikke ha null i nevner, altså er funksjonen ikke definert for
b) Vis ved regning at funksjonen ikke har noen asymptoter.
Vis fasit
Vi sjekker bruddpunktet
Vi sjekker om vi kan finne en fast verdi som funksjonsverdien nærmer seg hvis vi lar
Vi finner ingen fast verdi, altså har ikke funksjonen noen horisontal asymptote.
c) Faktoriser og forkort brøken. Hva slags graf vil funksjonen få?
Vis fasit
Grafen blir ei rett linje med brudd for
d) Tegn grafen.
Vis fasit
GeoGebra markerer ikke bruddpunktet, så vi har markert det manuelt ved å legge på en tekstboks med et kryss.
3.3.45
Vi har gitt den rasjonale funksjonen
a) Kan du ved å se på funksjonen si noe om hvilke
Vis fasit
Vi ser at vi har
b) Kan du vise at
Vis fasit
Hvis en rasjonal funksjon skal ha en horisontal asymptote, må vi finne en verdi som funksjonen går mot når
Vi ser at vi her ikke finner noen fast verdi, altså har ikke funksjonen en horisontal asymptote.
c) Bruk polynomdivisjon til å vise at
Vis fasit
Siden vi har
d) Tegn
Vis fasit
Vi ser at linja