Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje

En andregradsfunksjon kan ha to, ett eller ingen nullpunkter, men den vil alltid ha ei symmetrilinje.

Vi tegner grafen til funksjonen  fx=x2-4x+3  i GeoGebra og finner nullpunktene med kommandoen «Nullpunkt[f]».

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt. Vi finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har bunnpunkt 2, -1.

I koordinatsystemet har vi tegnet inn symmetrilinja til f, linja  x=2.

Vi ser at bunnpunktet ligger på symmetrilinja. Symmetrilinja ligger også like langt fra hvert av parabelens nullpunkter.

Vi har sett at vi kan finne parabelens nullpunkter ved å løse likningen fx=0.

x2-4x+3 = 0x=--4±-42-4·1·32·1x=4±16-122x=4±22x=2±1

Hvis vi stopper der, ser vi at  x=2±1.

De to nullpunktene ligger like langt fra parabelens symmetrilinje.

Det betyr at de to nullpunktene ligger like langt fra linja  x=2, og denne linja er altså parabelens symmetrilinje.

Generelt er nullpunktene gitt ved

x = -b±b2-4ac2a=-b2a±b2-4ac2a

Det betyr at vi kan finne symmetrilinja og x-koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved å «fjerne» kvadratroten i uttrykket vi får når vi setter f(x)=0 .

Gitt andregradsfunksjonen

fx=ax2+bx+c

Vi finner nullpunktene ved å løse likningen  f(x)=0. Det gir

xNullpunkt=-b±b2-4ac2a

Vi finner symmetrilinja og x-koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved

xSymmetrilinje=-b2a

Det betyr at vi kan finne mye informasjon om grafen til en andregradsfunksjon ved enkel regning uten å bruke digitale hjelpemidler.

Eksempel: To nullpunkter

Gitt funksjonen  gx=-x2+3x+4. Finn nullpunktene til funksjonen.

gx = 0-x2+3x+4=0x=-3±32-4·-1·42·-1x=-3±25-2x=-1      x=4

Nullpunktene er  x=-1  og  x=4.

Symmetrilinja er

x=-b2a=-32·-1=32=1,5

Vi ser at dette er x-verdien midt mellom -1 og 4.
Grafen har et toppunkt, siden andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatene

1.5, g(1.5) = 1.5, -1.52+3·1.5+4=1.5, (-2.25+4.5+4)=1.5, 6.25

Eksempel: Ett nullpunkt

Gitt funksjonen  hx=x2-4x+4.

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

hx = 0x2-4x+4=0x=--4±-42-4·1·42x=--4±02=2

Nullpunktet er  x=2.

Vi får bare ett nullpunkt, siden uttrykket under kvadratroten blir lik null.

Symmetrilinja er gitt ved

x=-b2a=--42·1=42=2

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt. Nullpunktet faller sammen med bunnpunktet og ligger på symmetrilinja.

Vi vet at  h(2)=0. Bunnpunktet har koordinatene 2, h2=2, 0.

Eksempel: Ingen nullpunkter

Gitt funksjonen  kx=x2-4x+5.

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

kx = 0x2-4x+5=0x=--4±-42-4·1·52x=--4±-42

Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen løsning. Det betyr at funksjonen ikke har nullpunkter, og grafen til funksjonen krysser aldri x-aksen.

Siden konstantleddet  c=5, vet vi at grafen skjærer y-aksen i punktet 0, 5. Dette punktet ligger over x-aksen. Grafen ligger da over x-aksen for alle verdier av x.

Vi finner symmetrilinja ved

x=-b2a=--42=42=2

Grafen har et bunnpunkt, siden andregradsleddet er positivt.


Bunnpunktet har koordinatene 2, k2=2, 22-4·2+5=2, 1.