Hvordan vi tegner grafen til en rasjonal funksjon

For å finne eventuelle vertikale asymptoter setter vi først nevneren i funksjonsuttrykket lik null.

I eksemplet i artikkelen Rasjonale funksjoner så vi på funksjonen gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}$

Når vi setter nevneren lik null, får vi likningen $x+2=0$, som gir $x=-2$.

Vi undersøker så om telleren er forskjellig fra null for denne verdien av $x$:

$x-2=-2-2=-4\ne 0$

Det viser seg at en brøks verdi alltid vil gå mot enten pluss eller minus uendelig når $x$ nærmer seg et tall som gir null i nevner og et tall forskjellig fra null i teller.

Det betyr at $x=-2$ er en vertikal asymptote til funksjonen $f$.

Vi finner en eventuell horisontal asymptote ved å la $x$ gå mot et uendelig stort positivt eller et uendelig lite negativt tall.

Når $x$ er et veldig stort tall eller et veldig lite tall, vil konstantene $-2$ og $2$ i brøken bety minimalt.

Da er

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x+2}\approx \frac{x}{x}=1$

Grafen vil altså nærme seg linja $y=1$ når $x$ går mot et uendelig stort positivt eller et uendelig lite negativt tall.

Linja $y=1$ er en horisontal asymptote til funksjonen.

Når du skal tegne grafen til en rasjonal funksjon uten digitale hjelpemidler, er det mye lettere hvis du først finner eventuelle asymptoter og tegner opp disse.

* * * * * *

Den rasjonale funksjonen i eksempelet ovenfor har førstegradspolynomer i teller og nevner. Rasjonale funksjoner kan også ha andre typer polynomer i teller og nevner, for eksempel andregradspolynomer.

Merk at også funksjonen $h\left(x\right)=\frac{1}{x}$ er et eksempel på en rasjonal funksjon.