Omdreiingslekamar

$$ f\left(x\right)=2, x\in \left[0,4\right]$$

$$ g\left(x\right)=x, x\in \left[0,4\right]$$

$$ h\left(x\right)=x+1, x\in \left[0,4\right]$$

$$ i\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}, x\in \left[-2,2\right]$$

1. sylinder

2. kjegle

3. avkorta kjegle

4. kule

$$ f\left(x\right)=2, x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{ccccc}& & & & \end{array}{V}_f & =& \pi {\int }_0^4{f}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4{2}^2 dx\\ & =& \pi {\left[4x\right]}_0^4\\ & =& \pi \left(4·4-4·0\right)\\ & =& 16\pi \end{array}$$

$$ g\left(x\right)=x, x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{ccccc}& & & & \end{array}{V}_{g }& =& {\int }_0^4{g}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4{x}^2 dx\\ & =& \pi {\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^4\\ & =& \pi \left(\frac{1}{3}·4^3-\frac{1}{3}·0^3\right)\\ & =& \frac{64}{3}\pi \end{array}$$

$$ h\left(x\right)=x+1, x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{ccccc}& & & & \end{array}{V}_{h }& =& {\int }_0^4{h}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4{\left(x+1\right)}^2 dx\\ & =& \pi {\int }_0^4\left(x^2+2x+1\right) dx\\ & =& \pi {\left[\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x\right]}_0^4\\ & =& \pi \left(\frac{1}{3}·4^3+4^2+4-0\right)\\ & =& \frac{124}{3}\pi \end{array}$$

$$ i\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}, x\in \left[-2,2\right]$$

$$ \begin{array}{rcl} V_i & =& \pi {\int }_{-2}^2{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{2}dx\\ & =& \pi {\int }_{-2}^2\left(4-x^2\right) dx\\ & =& \pi {\left[4x-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_{-2}^2\\ & =& \pi (4·2-\frac{1}{3}·2^3-\left(4·\left(-2\right)-\frac{1}{3}·{\left(-2\right)}^3\right)\\ & =& \pi \left(8-\frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}\right)\\ & =& \frac{32}{3}\pi \end{array}$$

Verdien for u avgrensar det området av den gitte grafen som vi skal bruke i omdreiinga. Dersom verdiane for u blir endra, vil området av grafen som er med i omdreiinga, blir endra.

Verdiane for t angir kor stor omdreiinga skal vere i radianar. Ei omdreiing frå $$ 0$$ til $$ 2\mathrm{\pi }$$ vil svare til ei omdreiing på $$ 360$$ gradar. Dersom verdiane for t blir endra, vil omdreiinga kunne bli meir eller mindre enn $$ 360$$ gradar.

Til dømes vil ei omdreiing frå $$ \frac{\mathrm{\pi }}{2}$$ til $$ \mathrm{\pi }$$ vere ei omdreiing på $$ 90$$ gradar, og vi vil få ein omdreiingslekam som er ein firedel av kva vi hadde fått ved ei $$ 360$$ gradars omdreiing.

Løysing utan hjelpemiddel:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{x}$$, $$ x\in \left[0,4\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}{V}_f & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^4{\left(\sqrt{x}\right)}^{2}dx \\ & =& \mathrm{\pi } {\int }_0^{4}xdx\\ & =& \mathrm{\pi } {\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^4\\ & =& \mathrm{\pi } \left(\frac{1}{2}·4^2-\frac{1}{2}·0^2\right)\\ & =& 8\mathrm{\pi }\end{array}$$

Løysing i CAS:

Den omvende funksjonen til $$ f\left(x\right)=\sqrt{x}$$ er $$ f^{-1}\left(x\right)=x^2$$. Sidan grafen til denne andregradsfunksjonen er ein parabel med loddrett symmetrilinje ($$ y$$-aksen), vil grafen til $$ f$$ vere halvparten av ein parabel med vassrett symmetrilinje ($$ x$$-aksen).

Denne typen romfigur blir kalla ein rotasjonsparaboloide, det vil seie den romfiguren vi får dersom vi roterer ein parabel om si eiga symmetrilinje. På grunn av symmetrien får vi den same romfiguren om vi roterer ein halvpart av parabelen om symmetrilinja.

Vi bruker Overflate(g,2pi,xAkse) for å teikne omdreiingslekamen med y-aksen som omdreiingsakse.

Vi ser at vi får den same omdreiingslekamen som vi fekk i oppgåve b), men den har ei anna plassering i det tredimensjonale koordinatsystemet.

$$ g\left(x\right)=x^2, x\in \left[0,2\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& x^2\\ y & =& x^2\\ x & =& \sqrt{y}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{g}^{-1}\left(y\right) & =& \sqrt{y}, y\in \left[0,4\right]\end{array}$$

Sidan funksjonen vi bruker som utgangspunkt, $$ g\left(x\right)$$, har definisjonsmengda $$ x\in \left[0,2\right]$$, har han verdimengda $$ y\in \left[0,4\right]$$. Dette betyr at den omvende funksjonen har definisjonsmengda $$ y\in \left[0,4\right]$$ og skal ha verdimengda $$ x\in \left[0,2\right]$$.

Vi må derfor bruke den positive delen av den omvende funksjonen, det vil seie $$ \begin{array}{rcl}& & g^{-1}\left(y\right)\end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \sqrt{y}\end{array}$$.

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{g^{-1}} & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^4{\left(g^{-1}\left(y\right)\right)}^{2}dy\\ & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^4{\left(\sqrt{y}\right)}^{2}dy\\ & =& \mathrm{\pi }{\int }_0^{4}y dy\\ & =& \mathrm{\pi } {\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^4\\ & =& \mathrm{\pi } \left(\frac{1}{2}·4^2-\frac{1}{2}·0^2\right)\\ & =& 8\mathrm{\pi }\end{array}$$

Vi ser at vi får det same volumet som vi fekk i oppgåve a).

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{b^2} & =& 1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{2^2} & =& 1\end{array}$$

2D-grafikkfeltet i GeoGebra:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{b^2} & =& 1\\ \frac{x^2}{3^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{2^2} & =& 1\\ \frac{{\displaystyle y^2}}{4} & =& 1-\frac{x^2}{9}\\ y^2 & =& 4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)\\ & & \end{array}$$

Sidan vi skal ha ein funksjon for den øvre halvdelen av ellipsen, vel vi den positive løysinga for $$ y$$:

$$ \begin{array}{rcl}y & =& \sqrt{4\left(1-\frac{x^2}{9}\right)}\\ y & =& 2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\\ f\left(x\right) & =& 2\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\end{array}$$

Dersom vi har definert funksjonen $$ f$$ i algebrafeltet i samband med teikning av omdreiingslekamen, kan vi referere til funksjonen $$ f$$ utan definisjon i CAS. Dersom dette ikkje er gjort, må funksjonen $$ f$$ først definerast.

Volumet av ellipsoiden er $$ 16\mathrm{\pi }$$.

Dersom $$ a<b$$, får vi ein ellipsoide som "står på høgkant". Dersom $$ a=b$$, får vi ei kule.

Volumet for omdreiingslekamen er $$ 16\mathrm{\pi }$$.

Denne oppgåva kan løysast på fleire måtar. Du må uansett bruke dei oppgitte verdiane som utgangspunkt.

Ei moglegheit er å gjennomføre ein regresjon for å få ein sinusfunksjon. Dersom grafen ikkje er god nok samanlikna med forma til vasen, kan du bruke det du har lært om den generelle sinusfunksjonen til å tilpasse grafen.

$$ f\left(x\right)=A\sin (kx+\phi )+d$$

Treng du hjelp til å finne ein best mogleg funksjon, kan du bruke simuleringa i fagartikkelen "Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyving".

Vi vel å legge inn punkta (0, 3,25), (7, 6), (12, 3), (18, 4) i reknearket i GeoGebra og deretter gjere ein regresjon med sinus. Resultatet av dette blir den følgande funksjonen:

$$ f\left(x\right)=4.34+2\sin (0,68x-2.16)$$

For å få ein graf som er endå betre tilpassa til måla til vasen, prøver vi ut endringar på amplituden, faseforskyvinga og likevektslinja, til vi får eit funksjonsuttrykk som stemmer ganske bra med dei oppgitte måla til vasen:

$$ f\left(x\right)=4.4+1.7\sin (0,36x-0.5)$$

Ei omdreiing av denne grafen om $$ x$$-aksen gir denne omdreiingslekamen:

Vi må berekne det innvendige volumet av vasen, noko som vi kan berekne ut frå ein funksjon $$ g$$ som ligg $$ 0,2$$ lågare enn $$ f$$, men som har den same forma.

Indre volum berekna i CAS:

Blomstervasen har eit indre volum på $$ 1 067{\mathrm{cm}}^3$$, det vil seie at han rommar cirka 1 liter vatn.

Bruk $$ x$$-aksen som omdreiingsakse og ta utgangspunkt i ein sirkel med $$ AB$$ som diameter. Denne sirkelen blir flytta slik at linja $$ EF$$ ligg langs $$ x$$-aksen. På figuren nedanfor er sentrum av ein sirkel med diameter lik 6 flytta frå $$ \left(0,0\right)$$ til $$ \left(0,-1\right)$$.

Vi tek utgangspunkt i ein halvsirkel med radius lik $$ 3$$ og sentrum i origo. Denne halvsirkelen er grafen til ein funksjon som er gitt ved $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}$$. Dersom sentrum av halvsirkelen skal vere i $$ \left(0,1\right)$$, blir funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}-1$$.

Vi bruker skjeringspunkta mellom sirkelbogen og $$ x$$-aksen i instruksjonen for omdreiing i GeoGebra. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen, skjer grafen $$ x$$-aksen i $$ x=-2,83$$ og i $$ x=2,83$$. Vi skriv då denne instruksjonen i algebrafeltet:

Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-2.83,2.83,t,0,2pi)

Bruk $$ x$$-aksen som omdreiingsakse no òg. Ta utgangspunkt i ein sirkel med $$ AB$$ som diameter, og flytt sirkelen slik at linja $$ CD$$ ligg langs $$ x$$-aksen. Beskriv tre delar av sirkelen som vist på figuren nedanfor.

For å få den rette omdreiingslekamen må kvart av desse elementa dreiast om $$ x$$-aksen.

Vi tek utgangspunkt i ein sirkel med radius lik $$ 3$$ og sentrum i origo. Den øvre halvsirkelen er då gitt ved funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}$$, mens den nedre halvsirkelen er gitt ved funksjonen $$ g\left(x\right)=-\sqrt{3^2-x^2}$$. Dersom sentrum av halvsirkelen skal vere i $$ \left(0,2\right)$$, blir funksjonane $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}+2$$ og $$ g\left(x\right)=-\sqrt{3^2-x^2}+2$$.

Heile den øvre sirkelbogen skal brukast til omdreiing. Dei to delane av den nedre sirkelbogen, $$ AC$$ og $$ DB$$, må ha omdreiing kvar for seg, og vi bruker skjeringspunkta mellom den nedre sirkelbogen og $$ x$$-aksen i instruksjonen for omdreiing. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen, skjer sirkelbogen $$ x$$-aksen i $$ x=-2,24$$ og i $$ x=2,24$$. Vi skriv då dei følgande tre instruksjonane i algebrafeltet:

Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-3,3,t,0,2pi)

Overflate(u,g(u) sin(t),g(u) cos(t),u,-3,-2.24,t,0,2pi)

Overflate(u,g(u) sin(t),g(u) cos(t),u,2.24,3,t,0,2pi)

Denne omdreiingslekamen vil ha eit "holrom" i midten, mens dei to førre var "heile" (massive).

Bruk $$ x$$-aksen som omdreiingsakse no òg. Ta utgangspunkt i ein sirkel med $$ AB$$ som diameter, og flytt sirkelen slik at linja $$ CD$$ ligg langs $$ x$$-aksen. Det vil då vere sirkelbogen frå $$ E$$ til $$ F$$ som skal dreiast om $$ x$$-aksen.

Vi tek som tidlegare i oppgåva utgangspunkt i ein halvsirkel med radius lik $$ 3$$ og sentrum i origo som er gitt ved funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}$$. Dersom sentrum av halvsirkelen skal vere i $$ \left(0,1\right)$$, blir funksjonen $$ f\left(x\right)=\sqrt{3^2-x^2}+1$$.

Vi bruker skjeringspunkta mellom sirkelbogen og $$ x$$-aksen i instruksjonen for omdreiing. I figuren som er gitt i "Tips"-boksen skjer grafen $$ x$$-aksen i $$ x=-2,83$$ og i $$ x=2,83$$. Vi skriv då denne instruksjonen i algebrafeltet:

Overflate(u,f(u) sin(t),f(u) cos(t),u,-2.83,2.83,t,0,2pi)