Overflate av omdreiingslekamar

Vi kan tenke at ein graf er samansett av mange små bogeelement med lengde $$ ∆s$$, slik vi illustrerte i fagartikkelen "Volum og bogelengde". Frå denne sida har vi at $$ ∆s$$ er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}∆s& =& \sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}·∆x\end{array}$$

Når grafen til ein funksjon, $$ f\left(x\right)$$, blir rotert om $$ x$$-aksen, vil det seie at kvart enkelt bogeelement blir rotert på same måte og dannar kvart sitt sirkelforma band med $$ x$$-aksen som sentrum i sirkelen.

Omkrinsen av ein sirkel er generelt gitt ved $$ O=2\pi r$$. Dersom vi lar $$ ∆s$$ gå mot null, vil arealet av bandet ha ei form som er tilnærma lik eit rektangel. Arealet av det sirkelforma bandet ved $$ x=x_i$$ vil derfor vere gitt ved

$$ A_{x_i}=2\pi ·r_{x_i}·∆s$$

Sidan radius i ein slik omdreiingssirkel er gitt ved $$ r_{x_i}=f\left(x_i\right)$$, kan vi setje opp samanhengen

$$ A_{x_i}=2\pi ·{r_x}_i·∆s=2\pi ·f\left(x_i\right)·∆s$$

Vi set inn uttrykket for $$ ∆s$$:

$$ A_{x_i}=2\pi ·f\left(x_i\right)·∆s=2\pi ·f\left(x_i\right)·\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}·∆x$$

Dersom vi summerer areala av alle dei sirkelforma banda som omdreiingslekamen består av, vil vi finne overflata av omdreiingslekamen.

Vi kjenner igjen prinsippet ved bestemd integrasjon. Vi kan setje opp den følgande formelen for overflata av ein omdreiingslekam ved rotasjon om $$ x$$-aksen av grafen til ein funksjon $$ f$$ frå $$ x=a$$ til $$ x=b$$:

$$ \begin{array}{rcl}O & =& {\int }_a^{b}2\pi ·f\left(x\right)·\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx\\ & =& 2\pi ·{\int }_a^{b}f\left(x\right)·\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}dx\end{array}$$

Vi kan kontrollere denne formelen ved å bruke han til å bestemme eit uttrykk for overflata av ei kule med radius lik $$ r$$.

Dersom vi roterer grafen til ein kvart sirkel $$ 360°$$frå $$ x=0$$ til $$ x=r$$, får vi ei halvkule med radius $$ r$$. Vi tek derfor igjen utgangspunkt i sirkellikninga $$ x^2+y^2=r^2$$ og finn funksjonsuttrykket for ein kvart sirkel:

$$ f\left(x\right)=\sqrt{r^2-x^2}, x\in \left[0,r\right]$$

Det gir

$$ \frac{∆y}{∆x}=f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}$$

Overflata av ei kule vil ut frå dette vere gitt ved 2 gonger overflata av ei halvkule:

$$ \begin{array}{rcl}{O}_{kule} & =& 2·2\pi {\int }_a^b\left(f\left(x\right)\sqrt{1+{\left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)}^2}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{1+{\left(\frac{-x}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)}^2}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{\frac{r^2-x^2}{r^2-x^2}+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^r\left(\sqrt{r^2-x^2}·\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}\right)dx\\ & =& 4\pi {\int }_0^{r}r dx\\ & =& 4\pi ·{\left[rx\right]}_0^r\\ & =& 4\pi r^2\end{array}$$

Vi kjem fram til den kjende formelen for overflata av ei kule.