Oppgåve

Volum og bogelengde

På teorisida om dette temaet bruker vi integrasjon til å berekne volum av ein romfigur, bogelengda til ein graf og gjennomsnittsverdien til ein funksjon. Her kan du prøve å berekne desse storleikane.

3.3.1

Vi kan berekne bogelengda til ein graf frå $x = a$ til $x = b$ ved hjelp av integrasjon ut frå samanhengen $s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {\begin{array}{rcl} (f^{'} (x)) \end{array}}^{2}} d x$ .

Dette vil sjølvsagt òg gjelde for lengda av grafen til ein lineær funksjon.

a) Bestem den eksakte bogelengda til funksjonen $f (x) = 2 x$ i intervallet $x \in [0, 3]$ på to ulike måtar, utan bruk av digitale hjelpemiddel.

Tips

Du kan bruke pytagorassetninga som den eine måten og integrasjon som den andre måten.

Løysing

Metode 1: pytagorassetninga

Sidan grafen i dette tilfellet er ei rett linje, kan vi bruke pytagorassetninga for å finne lengda av grafen, der den eine kateten går langs det gitte intervallet langs $x$ -aksen og har lengde lik $3$ , mens den andre kateten går i $y$ -retning og har lengde $f (3) = 2 \cdot 3 = 6$ .

Pytagorassetninga gir då følgande bogelengde, $b$ :

$\begin{array}{rcl} b^{2} & = & 3^{2} + 6^{2} \\ b & = & \sqrt{9 + 36} \\ b & = & \sqrt{45} \\ b & = & 3 \sqrt{5} \end{array}$

Metode 2: integrasjon

$\begin{array}{rcl} s & = & \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{3} \sqrt{1 + 2^{2}} d x \\ = & \int_{0}^{3} \sqrt{5} d x \\ = & {[\sqrt{5} x]}_{0}^{3} \\ = & 3 \sqrt{5} \end{array}$

b) Vi ønsker å bestemme bogelengda til funksjonen $f (x) = x^{2}$ eksakt. Når funksjonen er noko anna enn lineær, viser det seg at det er komplisert å løyse integralet i formelen for bogelengde manuelt.

Bruk derfor CAS for berekne den eksakte bogelengda til funksjonen $f (x) = x^{2}$ i intervallet $x \in [- 2, 2]$ .

Løysing

Sidan den eksakte verdien av bogelengda blir eit komplisert uttrykk, bereknar vi òg den tilnærma verdien for bogelengda.

Berekning av bogelengda ved hjelp av integrasjon i CAS, to linjer. På linje 1 står det Lengda kolon er lik integralet frå minus 2 til 2 kvadratrota av parentes 1 pluss parentes 2 x parentes slutt i andre parents slutt d x. Resultatet er Lengda kolon er lik parentes 8 kvadratrota av 17 pluss l n parentes kvadratrota av 17 pluss 33 parentes slutt parentes slutt delt på 4. På linje 2 står det at Lengda er tilnærma lik 9,29. Skjermutklipp. — Bilete: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

3.3.2

Som nemnt er det ofte vanskeleg å bestemme bogelengde for funksjonar som ikkje er lineære, og i mange tilfelle viser det seg at det er umogleg å bestemme dette ved bruk av CAS. I slike tilfelle kan vi bestemme ein tilnærma verdi ved bruk av numeriske metodar.

Frå teorisida har vi følgande samanheng for lengda av eit linjestykke mellom to punkt på ein graf:

$\begin{array}{rcl} {(∆ s)}^{2} & = & {(∆ x)}^{2} + {(∆ y)}^{2} \\ ∆ s & = & \sqrt{{(∆ x)}^{2} + {(∆ y)}^{2}} \end{array}$

a) Lag ein algoritme for eit program som bereknar bogelengda til funksjonen $f (x) = x^{2}$ mellom to $x$ -verdiar numerisk. $x$ -verdiane og breidda på linjestykka $(∆ x)$ skal oppgivast av brukaren under køyring av programmet.

Løysing

Inndata og definisjonar:

Vi definerer funksjonen.
Vi opprettar variabel for bogelengda og set han lik 0.
Programmet skal be om minste $x$ -verdi, største $x$ -verdi og avstanden mellom $x$ -verdiane, $d x$ .

Ei løkke blir nytta til berekning. Denne bruker minste $x$ -verdi som startverdi og største $x$ -verdi som sluttverdi, og $x$ -verdien blir auka med $d x$ for kvar gjennomgang.

Løkke start:

$d y$ blir berekna ut frå gjeldande $x$ -verdi.
Bit av bogelengda blir berekna ut frå formel ved hjelp av $d x$ og $d y$ .
Totalverdien av bogelengda blir auka med lengda av den berekna biten.
Neste $x$ -verdi blir berekna.

Løkke slutt:

Den berekna bogelengda blir skriven ut.

b) Lag programmet som algoritmen beskriv.

Løysing

Berekne bogelengde numerisk

1import math
2
3# Definerer funksjonen f
4def f(x):
5    return x**2 
6
7# Set startverdi for bogelengda
8buelengde=0
9
10# Informasjon blir gitt.
11print("Dette programmet gjer ei numerisk berekning av bogelengde")
12print("for ein gitt funksjon frå x1 til x.")
13
14# Inndata blir registrert.
15x1 = float(input("Skriv inn nedre grense, x1:"))
16x2 = float(input("Skriv inn øvre grense, x2:"))
17dx = float(input("Skriv inn verdi for dx:"))
18
19# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x.
20xVerdi=x1
21
22# Løkke som lengda av kvar bit av bogelengda, og summerer etter kvart
23while xVerdi<x2:
24    #bereknar dy ut frå gjeldande xVerdi
25    dy=f(xVerdi+dx)-f(xVerdi)
26    
27    #bereknar bogelengda for aktuell del av grafen
28    ds=math.sqrt(dy**2+dx**2)
29    
30    #legg til berekna bogedel til total bogelengde
31    bogelengde=bogelengde+ds
32    
33    #bereknar neste x-verdi
34    xVerdi=xVerdi+dx
35    
36print(f"Bogelengda er {bogelengde:.5f}.")

3.3.3

Volum av ein romfigur er gitt ved

$V = \int_{x_{1}}^{x_{2}} A (x) d x$

der $A$ er arealet av flata av skiva og $d x$ angir høgda av skiva.

Ei kule er eit døme på ein romfigur, og vi har vist på teorisida at volumet av ei kule er gitt ved

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} \end{matrix} V & = & \int_{- r}^{r} π (r^{2} - x^{2}) d x \end{array}$

der $r$ er radius i kula.

a) Bruk samanhengen som er gitt over til å berekne volumet av ei kule med radius lik 2 cm ved hjelp av integrasjon, utan bruk av digitale hjelpemiddel.

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & \int_{- r}^{r} π (r^{2} - x^{2}) d x \\ = & π \int_{- 2}^{2} (2^{2} - x^{2}) d x \\ = & π \cdot {[4 x - \frac{1}{3} x^{3}]}_{- 2}^{2} \\ = & π (4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (4 \cdot (- 2) - \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3})) \\ = & π (8 - \frac{8}{3} - (- 8 + \frac{8}{3})) \\ = & \frac{32}{3} π \end{array}$

b) Bruk formelen for volum av kule, $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ , til å kontrollere berekninga i a).

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{4}{3} π r^{3} \\ = & \frac{4}{3} π \cdot 2^{3} \\ = & \frac{32}{3} π \end{array}$

3.3.4

På teorisida såg vi at dersom vi deler ei kule med radius $r$ i sylinderforma skiver med tjukne $∆ x$ , vil volumet av kvar skive bli

$\begin{array}{rcl} V_{s k i v e} & = & A (x) \cdot ∆ x \\ = & π (r^{2} - x^{2}) \cdot ∆ x \end{array}$

Vi kan bruke denne samanhengen til å berekne volumet av ei kule numerisk.

a) Lag ein algoritme for eit program som bereknar volumet av ei kule. Radius og talet på skiver skal oppgivast av brukaren ved køyring av programmet.

Løysing

Inndata:

Verdi for radius blir gitt.
Talet på skiver blir gitt.

Berekningar/startverdiar:

Startverdi for $x$ blir sett lik $- r$ .
Breidda på skivene, $d x$ , blir sette lik diameter delt på talet på skiver.
Startverdi for totalt volum blir sett lik 0.

Ei lykkje blir nytta til berekning av volumet for kula ved å summere volumet for alle skivene. Denne bruker $x$ -verdien $- r$ som startverdi og $r$ som sluttverdi, og $x$ -verdien blir auka med $d x$ for kvar gjennomgang.

Lykkje start:

Ny $x$ -verdi blir berekna.
Volum av skive blir berekna ut frå standard volumformel.
Totalverdi for volum blir auka med berekna volum av skive.

Lykkje slutt:

Berekna volum blir skrive ut.

b) Lag eit program som bereknar volumet av ei kule numerisk.

Løysing

Volum av kule, numerisk

1import math
2
3# Info
4print("Dette programmet gjer ei numerisk berekning av volumet av ei kule")
5print("med radius r frå x1 til x2.")
6
7# Inndata blir registrert.
8r = float(input("Skriv inn verdi for radius:"))
9antall = float(input("Skriv inn talet på skiver som kula skal delast inn i:"))
10
11# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x, som er -r.
12xVerdi=-r
13
14# Breidda på skivene blir berekna.
15dx=2*r/antall
16
17#Startverdi for totaltVolum
18totaltVolum=0
19
20# Lykkje som bereknar volum av kvar skive, og summerer etter kvart
21while xVerdi<r:
22    #bereknar ny xVerdi
23    xVerdi=xVerdi+dx
24    
25    #bereknar volum av skive
26    volum=math.pi*(r*r-xVerdi*xVerdi)*dx
27    
28    #legg berekna volum til totalt volum
29    totaltVolum=totaltVolum+volum
30
31print(f"Volumet av kula er berekna numerisk til {totaltVolum:.5f}.")

3.3.1

3.3.2

3.3.3

3.3.4

Reglar for bruk av teksten "Volum og bogelengde"