Volum og bogelengde

Vi kan berekne bogelengda til ein graf frå $$ x=a$$ til $$ x=b$$ ved hjelp av integrasjon ut frå samanhengen $$ s={\int }_a^b\sqrt{1+{\begin{array}{rcl}& & \left(f^{\text{'}}\left(x\right)\right)\end{array}}^2}dx$$.

Dette vil sjølvsagt òg gjelde for lengda av grafen til ein lineær funksjon.

a) Bestem den eksakte bogelengda til funksjonen $$ f\left(x\right)=2x$$ i intervallet $$ x\in \left[0,3\right]$$ på to ulike måtar, utan bruk av digitale hjelpemiddel.

b) Vi ønsker å bestemme bogelengda til funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2$$ eksakt. Når funksjonen er noko anna enn lineær, viser det seg at det er komplisert å løyse integralet i formelen for bogelengde manuelt.

Bruk derfor CAS for berekne den eksakte bogelengda til funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2$$ i intervallet $$ x\in \left[-2,2\right]$$.

Løysing

Sidan den eksakte verdien av bogelengda blir eit komplisert uttrykk, bereknar vi òg den tilnærma verdien for bogelengda.

Som nemnt er det ofte vanskeleg å bestemme bogelengde for funksjonar som ikkje er lineære, og i mange tilfelle viser det seg at det er umogleg å bestemme dette ved bruk av CAS. I slike tilfelle kan vi bestemme ein tilnærma verdi ved bruk av numeriske metodar.

Frå teorisida har vi følgande samanheng for lengda av eit linjestykke mellom to punkt på ein graf:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(∆s\right)}^2 & =& {\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2\\ ∆s & =& \sqrt{{\left(∆x\right)}^2+{\left(∆y\right)}^2}\end{array}$$

a) Lag ein algoritme for eit program som bereknar bogelengda til funksjonen $$ f\left(x\right)=x^2$$ mellom to $$ x$$-verdiar numerisk. $$ x$$-verdiane og breidda på linjestykka $$ \left(∆x\right)$$ skal oppgivast av brukaren under køyring av programmet.

b) Lag programmet som algoritmen beskriv.

1import math
2
3# Definerer funksjonen f
4def f(x):
5    return x**2 
6
7# Set startverdi for bogelengda
8buelengde=0
9
10# Informasjon blir gitt.
11print("Dette programmet gjer ei numerisk berekning av bogelengde")
12print("for ein gitt funksjon frå x1 til x.")
13
14# Inndata blir registrert.
15x1 = float(input("Skriv inn nedre grense, x1:"))
16x2 = float(input("Skriv inn øvre grense, x2:"))
17dx = float(input("Skriv inn verdi for dx:"))
18
19# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x.
20xVerdi=x1
21
22# Løkke som lengda av kvar bit av bogelengda, og summerer etter kvart
23while xVerdi<x2:
24    #bereknar dy ut frå gjeldande xVerdi
25    dy=f(xVerdi+dx)-f(xVerdi)
26    
27    #bereknar bogelengda for aktuell del av grafen
28    ds=math.sqrt(dy**2+dx**2)
29    
30    #legg til berekna bogedel til total bogelengde
31    bogelengde=bogelengde+ds
32    
33    #bereknar neste x-verdi
34    xVerdi=xVerdi+dx
35    
36print(f"Bogelengda er {bogelengde:.5f}.")

Volum av ein romfigur er gitt ved

$$ V={\int }_{x_1}^{x_2}A\left(x\right) dx $$

der $$ A$$ er arealet av flata av skiva og $$ dx$$ angir høgda av skiva.

Ei kule er eit døme på ein romfigur, og vi har vist på teorisida at volumet av ei kule er gitt ved

$$ \begin{array}{rcl}\begin{array}{c}\end{array}V& = & {\int }_{-r}^r\pi \left(r^2-x^2\right) dx\end{array}$$

der $$ r$$ er radius i kula.

a) Bruk samanhengen som er gitt over til å berekne volumet av ei kule med radius lik 2 cm ved hjelp av integrasjon, utan bruk av digitale hjelpemiddel.

b) Bruk formelen for volum av kule, $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, til å kontrollere berekninga i a).

På teorisida såg vi at dersom vi deler ei kule med radius $$ r$$ i sylinderforma skiver med tjukne $$ ∆x$$, vil volumet av kvar skive bli

$$ \begin{array}{rcl}{V}_{skive} & =& A\left(x\right)·∆x\\ & =& \pi \left(r^2-x^2\right)·∆x\end{array}$$

Vi kan bruke denne samanhengen til å berekne volumet av ei kule numerisk.

a) Lag ein algoritme for eit program som bereknar volumet av ei kule. Radius og talet på skiver skal oppgivast av brukaren ved køyring av programmet.

b) Lag eit program som bereknar volumet av ei kule numerisk.

1import math
2
3# Info
4print("Dette programmet gjer ei numerisk berekning av volumet av ei kule")
5print("med radius r frå x1 til x2.")
6
7# Inndata blir registrert.
8r = float(input("Skriv inn verdi for radius:"))
9antall = float(input("Skriv inn talet på skiver som kula skal delast inn i:"))
10
11# Startverdi for x blir sett lik nedre grense for x, som er -r.
12xVerdi=-r
13
14# Breidda på skivene blir berekna.
15dx=2*r/antall
16
17#Startverdi for totaltVolum
18totaltVolum=0
19
20# Lykkje som bereknar volum av kvar skive, og summerer etter kvart
21while xVerdi<r:
22    #bereknar ny xVerdi
23    xVerdi=xVerdi+dx
24    
25    #bereknar volum av skive
26    volum=math.pi*(r*r-xVerdi*xVerdi)*dx
27    
28    #legg berekna volum til totalt volum
29    totaltVolum=totaltVolum+volum
30
31print(f"Volumet av kula er berekna numerisk til {totaltVolum:.5f}.")