Overflate av omdreiingslekamar
3.3.20
I oppgåve 3.3.10 bereknar vi volumet til fire omdreiingslekamar.
Du skal no berekne overflatearealet til dei same omdreiingslekamane ved hjelp av integrasjon. Overflatene i dei tre første deloppgåvene skal du berekne utan digitale hjelpemiddel, mens overflata i oppgåve d) skal du berekne ved hjelp av CAS.
a)
Løysing
Overflata til omdreiingslekamen som har form som ein sylinder, er
b)
Løysing
Overflata til omdreiingslekamen som har form som ei kjegle, er
c)
Løysing
Overflata til omdreiingslekamen som har form som ei avkorta kjegle, er
d)
Løysing
Sidan
Overflata av kula er
3.3.21
På teorisida bruker vi integrasjon til å utleie formelen for overflata av ei kule.
a) Bruk den same metoden for å utleie formelen for overflata til ein sylinder med radius
Tips
Ein sylinder vil komme fram ved omdreiing av eit vassrett linjestykke om
Løysing
Eit generelt funksjonsuttrykk for eit linjestykke som gir ein sylinder ved omdreiing om
b) Kontroller berekninga av overflata til sylinderen i oppgåve 3.3.20 a) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgåve a), utan bruk av digitale hjelpemiddel.
Løysing
Sylinderen i oppgåve 3.3.20 a) har radius
Vi ser at vi får den same overflata i begge berekningane.
c) Utlei formelen for overflata av ei kjegle utan botn på den same måten som for kule og sylinder. Bruk radius =
Løysing
I ei kjegle er sidekanten,
d) Kontroller òg berekninga av overflata til kjegla i oppgåve 3.3.20 b) ved å bruke formelen du kom fram til i oppgåve c), utan bruk av digitale hjelpemiddel.
Løysing
Kjegla i oppgåve 3.3.20 b) kjem fram ved omdreiing av
Vi får den same overflata i begge berekningane.
3.3.22
Evangelista Torricelli (1608–1647) var ein italiensk matematikar og fysikar. Innan fysikk er han kanskje mest kjent for å ha funne opp kvikksølvbarometeret, men han var òg ein av bidragsytarane til utviklinga av integralrekninga.
I arbeidet med integralrekninga oppdaga Torricelli nokre heilt spesielle eigenskapar ved omdreiingslekamen som kjem fram ved omdreiing av grafen til funksjonen
Torricelli viste at denne omdreiingslekamen, som i ettertid har vorte kalla både Torricellis trompet og Gabriels horn, har endeleg volum og uendeleg overflate.
a) Berekn det endelege volumet for eit horn som kjem fram ved omdreiing av
Løysing
Vi har vist at når den øvre grenseverdien til integralet går mot uendeleg, vil volumet gå mot den endelege verdien
Berekning av volum ved hjelp av CAS:
b) Vis ved hjelp av CAS at det same hornet har uendeleg overflate.
Løysing
Vi har vist at når den øvre grenseverdien til integralet går mot uendeleg, vil overflatearealet gå mot uendeleg òg.
c) Undersøk volumet av ein omdreiingslekam som kjem fram ved omdreiing av
Løysing
Vi ser at volumet av omdreiingslekamen går mot uendeleg. Årsaka er at grafen til