Grunnleggande om logikk og bevisføring

Vi beviser implikasjonen frå høgre mot venstre med eit direkte bevis:

Vi set $$ a = k·m$$.

Dette gir

$$ a^2 = {\left(k·m\right)}^2=k^2·m^2$$

Dermed har vi bevist at

$$ k$$ er faktor i $$ a$$    $$ \Rightarrow $$   $$ k$$ er faktor i $$ a^2$$

Vi viser at implikasjonen frå venstre mot høgre ikkje gjeld ved eit motdøme:

$$ a^2=36, k =4$$

$$ \begin{array}{rcl}{a}^2 & =& 36\\ & =& 4·9\\ a & =& \sqrt{36}\\ & =& 6\\ & =& 2·3\end{array}$$

Vi ser at 4 er ein faktor i $$ a^2$$ utan å vere ein faktor i $$ a$$.

Den eine delen av beviset er den same som i a), så vi har at

$$ k$$ er faktor i $$ a$$    $$ \Rightarrow $$   $$ k$$ er faktor i $$ a^2$$

Her gjeld implikasjonen den andre vegen òg. Vi beviser dette med eit kontrapositivt bevis og beviser påstanden:

$$ k$$ er ikkje faktor i $$ a$$    $$ \Rightarrow $$   $$ k$$ er ikkje faktor i $$ a^2$$

Vi faktoriserer $$ a$$ i alle primtalsfaktorane talet inneheld. Hugs at ingen av desse faktorane kan vere $$ k$$, og heller ikkje kan produktet av nokon av desse faktorane vere $$ k$$. Nokre kan vere like, men det treng vi ikkje skilje mellom.

$$ \begin{array}{rcl}a & =& p_1·p_2·p_3 · ... ·p_n\\ & \Downarrow & \\ a^2 & =& {p_1}^2·{p_2}^2·{p_3}^2 · ... · {p_n}^2\\ & & \end{array}$$

Vi ser at alle primtalsfaktorane i $$ a^2$$ kan finnast igjen i $$ a$$. Så lenge $$ k$$ ikkje inneheld kvadratet av ein av $$ p$$-faktorane, kjem vi aldri i den situasjonen at $$ k$$ er faktor i $$ a^2$$, men ikkje i $$ a$$. Til dømes vil $$ k={p_1}^2·p_2$$ vere faktor i $$ a^2$$, men ikkje i $$ a$$ (dersom ingen av dei andre faktorane i $$ a$$ er lik $$ p_1$$). Ingen av primtalsfaktorane i $$ k$$ kan derfor vere like. Dermed har vi bevist at dersom $$ k$$ ikkje er ein faktor i $$ a$$, er $$ k$$ heller ikkje faktor i $$ a^2$$ når $$ k$$ ikkje har eit kvadrattal som faktor.

Dermed gjeld ekvivalensen.

Vi sjekkar implikasjonen begge vegar:

Frå venstre mot høgre:

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{5+x} & =& 2\\ & \Downarrow & \\ 5+x & =& 4\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 4-5\\ & \Updownarrow & \\ x & =& -1\end{array}$$

Vi sjekkar frå høgre mot venstre:

$$\begin{gathered} \sqrt{5+\left(-1\right)}=\sqrt{4}=2 \\ \end{gathered}$$

Vi ser at vi har implikasjon begge vegar, og ekvivalensen gjeld.

Vi sjekkar først frå venstre mot høgre:

$$ (4-3{)}^2 = 1^2 = 1$$

Denne implikasjonen held. Så sjekkar vi frå høgre mot venstre:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(x-3\right)}^2 & =& 1\\ x^2-6x+9-1 & =& 0\\ x^2-6x+8 & =& 0\\ \left(x-4\right)\left(x-2\right) & =& 0\\ x & =& 4 \vee x = 2\end{array}$$

Vi ser at vi får to ulike moglege løysingar, så vi har ikkje implikasjon frå høgre mot venstre.

Ekvivalensen held ikkje.

Vi følger mønsteret frå teorisida og beviser dette ved å gå ut frå det motsette for så å komme fram til ei sjølvmotseiing. Vi startar med å setje $$ \sqrt{2} = \frac{a}{b}$$, der $$ a$$ og $$ b$$ ikkje har felles faktorar:

$$ \begin{array}{rcl}\sqrt{2} & =& \frac{a}{b}\\ & \Downarrow & \\ 2 & =& \frac{a^2}{b^2}\\ & \Updownarrow & \\ a^2 & =& 2b^2\end{array}$$

Dette betyr at dersom $$ \sqrt{2}=\frac{a}{b}$$, er $$ a^2$$ eit partal. Det betyr at $$ a$$ òg er eit partal, og vi kan skrive $$ a=2k$$:

$$ \begin{array}{rcl}{\left(2k\right)}^2 & =& 2b^2\\ & \Updownarrow & \\ 4k^2 & =& 2b^2\\ & \Updownarrow & \\ b^2 & =& 2k^2\end{array}$$

Vi har no komme fram til at $$ b^2$$, og dermed òg $$ b$$, er eit partal. Men dette inneber at både $$ a$$ og $$ b$$ inneheld faktoren 2, noko som er ei sjølvmotseiing. Vi har dermed bevist at $$ \sqrt{2}$$ ikkje kan vere eit rasjonalt tal. Det inneber at $$ \sqrt{2}$$ er irrasjonalt.

Kall det første talet for $$ k$$.

Vi kallar det første talet for $$ k$$, det andre for $$ k+1$$ og det tredje for $$ k+2$$. Vi legg saman og får

$$ k+k+1+k+2=3k+3=3(k+1)$$

Her ser vi at 3 er ein faktor i summen uavhengig av kva tal vi har starta med, og dermed har vi bevist at summen av tre etterfølgande tal alltid er deleleg med 3.

Her held det å finne eit motdøme. Til dømes er ikkje $$ 3+4+5+6 = 18$$ deleleg med 4.

Vi set det eine oddetalet lik $$ 2m+1$$ og det andre oddetalet lik $$ 2n+1$$. Vi finn summen:

$$ \begin{array}{rcl}2m+1+2n+1 & =& 2m+2n+2\\ & =& 2(m+n+1)\end{array}$$

Vi ser at vi kan skrive dette på forma $$ 2k$$, altså har vi eit partal.

Vi set det eine oddetalet lik $$ 2n+1$$ og det andre lik $$ 2m+1$$. Så finn vi produktet:

$$ \begin{array}{rcl}\left(2n+1\right)\left(2m+1\right) & =& 2n·2m+2n·1+1·2m+1·1\\ & =& 4nm+2n+2m+1\\ & =& 2\left(2nm+n+m\right)+1\end{array}$$

Uttrykket som står inne i parentesen i nedste linje, er eit heiltal, og det betyr at produktet er på forma $$ 2k+1$$ og dermed eit oddetal.