Grunnleggande om logikk og bevisføring
I emnet "Implikasjon, ekvivalens og nokre matematiske bevistypar" i 1T kunne du lære det mest grunnleggande om matematisk bevisføring. I denne artikkelen vil vi gjenta noko av det som står der og dessutan gå gjennom ein ny type bevis.
Implikasjon og ekvivalens
Vi ser på dei to matematiske utsegnene:
Vi kan seie at dersom
Denne utsegna les vi som "
Symbolet "
Er det sånn at
Svar
Ja, det er det. Dersom det er sant at
I ein slik situasjon der vi kan seie at implikasjonen går begge vegar, har vi det vi kallar for ein ekvivalens. Vi har eit eige symbol for dette, ei ekvivalenspil, som er ein kombinasjon av dei to implikasjonspilene. Vi kan skrive
Dette blir lese som "
Vi ser på to nye utsegner:
Kva for nokre av utsegnene under er sanne? Tenk nøye gjennom det før du klikkar på boksen.
p ⇒ q q ⇒ p q ⇐ p p ⇐ q p ⇔ q
Svar
Dei rette utsegnene er 2 og 4. Desse to utsegnene er eigentleg den same utsegna, som seier at "
Vi har at
Men kvifor har vi ikkje implikasjon den andre vegen? Vi løyser likninga i utsegn
Her ser vi at dersom
Når vi skal sjekke om vi har ekvivalens, må vi hugse å sjekke om implikasjonen går begge vegar!
Ulike typar bevis
Det finst mange måtar å føre matematiske bevis på. I 1T fekk du lære om direkte bevis, kontrapositive bevis og bevis med motdøme. Du kan lese meir om desse bevistypane i artikkelen "Nokre matematiske bevistypar". Direkte bevis er nok det du har møtt mest av, og som regel er det det du har gjort i oppgåver der det står "vis at ...". I R2 skal du få møte fleire former for bevis, mellom anna induksjonsbevis, som kjem i ein seinare artikkel.
Bevis ved sjølvmotseiing
Her skal vi vise ein bevistype som vi kan kalle bevis ved sjølvmotseiing. Det inneber at vi i staden for å bevise at noko er sant, prøver å bevise at det motsette er sant. Mot slutten av beviset vil vi då komme fram til ei sjølvmotseiing, og den opphavlege utsegna er bevist.
Påstand:
Kva betyr det at eit tal er irrasjonalt, igjen?
Eit rasjonalt tal er eit tal som kan skrivast som ein brøk med heile tal i teljaren og nemnaren. Det vil seie at eit irrasjonalt tal er eit tal som ikkje kan skrivast som ein brøk med heile tal i teljaren og nemnaren.
To vanlege døme på irrasjonale tal er
Vi ønsker å bevise at
Vi startar med å setje opp det første uttrykket, og så jobbar vi oss nedover med implikasjonar og ekvivalensar:
For at
Forklaring
Dersom to tal skal vere like, må dei òg bestå av dei same faktorane. Det betyr at
Merk at vi no heile tida snakkar om heiltalige røter.
Sidan 3 er ein faktor i
No har vi vist at