Fagartikkel

Nokre matematiske provtypar

I matematikken har vi ei rekkje påstandar eller setningar. Eit døme er setninga som seier at summen av vinklane i ein trekant er 180 grader. Vi godtar ikkje slike påstandar utan vidare. Vi krev prov. Vi skal no sjå på nokre måtar å føre matematiske prov på.

Direkte prov

Dette er den mest vanlege forma for provføring, og det er eigentleg dette vi gjer når vi til dømes løyser likningar.

Døme 1

Vi seier «Løys likninga»

$2 x + 4 = 6$

Vi kunne like gjerne sagt «Prov påstanden».

$2 x + 4 = 6 \Rightarrow x = 1$

Det vi gjer er å løyse likninga på vanleg måte. Vi antar at noko er sant og trekkjer logiske slutningar fram til konklusjonen. Vi bruker implikasjonsteiknet for å vise at vi trekkjer ei logisk slutning. Løysing av ei likning kunne vi ført på følgjande måte

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 6 \\ ⇓ \\ 2 x & = & 6 - 4 \\ ⇓ \\ 2 x & = & 2 \\ ⇓ \\ x & = & 1 \end{array}$

I dette tilfellet har vi også ekvivalens heile vegen. Det tyder at $x = 1 \Rightarrow 2 x + 4 = 6$ . Det vil seie at løysinga på likninga er korrekt.

Vi kunne altså like gjerne skrive

$\begin{array}{rcl} 2 x + 4 & = & 6 \\ ⇕ \\ 2 x & = & 6 - 4 \\ ⇕ \\ 2 x & = & 2 \\ ⇕ \\ x & = & 1 \end{array}$

Døme 2

En setning i matematikken seier at for eit naturleg tal $n$ gjeld

$n er eit partall \Rightarrow n^{2} kan delast med 4$

Eit direkte prov for denne påstanden kan førast slik

$\begin{aligned} n er & eit & partal \\ ⇓ & Vi kan skrive n som 2 t der t er eit \\ n & = & 2 t & heilt tal fordi 2 er ein faktor i alle partal . \\ ⇓ \\ n^{2} & = & 4 t^{2} & 4 er ein faktor i n^{2} . \\ Det må tyde at n^{2} kan delast med 4 . \end{aligned}$

I dette provet brukte vi at kvart partal kan skrivast der $2 t$ hvor $t$ er eit heilt tal. Tilsvarande kan kvart oddetal skrivast som $2 t + 1$ eller $2 t - 1$ . Sjå nedanfor.

Partall og oddetall
Eit heilt tal $n$ er partal dersom og berre dersom det finst eit heilt tal $t$ slik at $n = 2 t$ .

Eit heilt tal $n$ er oddetal dersom og berre dersom det finst eit heilt tal $t$ slik at
$n = 2 t + 1$ eller $n = 2 t - 1$ .

Døme 3

Det kan ofte vere lett å trekkje gale slutningar. Det gjeld til dømes når vi løyser irrasjonale likningar.

Likningar der den ukjende er å finne under eitt eller fleire rotteikn, blir kalla irrasjonale likningar.

Gitt likninga

$\sqrt{x + 1} = - 3$

For å løyse slike likningar må vi kvadrere på begge sider av likskapsteiknet

${(\sqrt{x + 1})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Vi får da

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & 9 \\ x & = & 8 \end{array}$

Dersom vi no set prøve, får vi

Venstre side: $\sqrt{x + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$
Høgre side: $- 3$

Vi ser at $x = 8$ ikkje er ei løysing av likninga. Korleis kan det henge saman?

Forklaring

Alle er samde om at

$- 5 \neq 5$

Men samtidig er

${(- 5)}^{2} = 5^{2}$

Vi ser altså at når vi kvadrerer tal som er ulike, kan kvadrata bli like. Men ${(- 5)}^{2} = 5^{2}$ medfører ikkje at $- 5 = 5$ .

Med implikasjons- og ekvivalensteikn ser vi at problemet er at vi ikkje har ekvivalens når vi kvadrerer.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x + 1} & = & - 3 \\ ⇓ \\ (\sqrt{x + 1})^{2} & = & (- 3)^{2} \\ ⇕ \\ x + 1 & = & 9 \\ ⇕ \\ x & = & 8 \end{array}$

Dømet viser at det kan vere viktig å vere klar over når vi har implikasjon, og når vi har ekvivalens.

Når vi løyser irrasjonale likningar, har vi berre implikasjon når vi kvadrerer. Kvadreringa kan føre til at vi får ei falsk løysing. Du må derfor alltid setje prøve på svaret når du løyser irrasjonale likningar.

Brannsupportarar på tribune. Foto. — «Alle bergensarar heiar på Brann» eller «Ingen som ikkje heier på Brann, er bergensarar» …? Bilete: Svein Ove Ekornesvåg / CC BY-NC-SA 4.0

Kontrapositive prov

Påstand 1
Alle bergensarar heiar på Brann.

På «matematikkspråket» kan vi skrive dette som

Per er bergensar $\Rightarrow$ Per heiar på Brann

Påstand 2
Ingen som ikkje heiar på Brann, er bergensarar.

På «matematikkspråket»

Per heiar ikkje på Brann $\Rightarrow$ Per er ikkje bergensar

Kva er skilnaden på påstand 1 og påstand 2?

La oss gå ut frå at påstand 1 er rett, og at påstand 2 er gal.

At påstand 2 er gal, tyder at Per kan vere bergensar sjølv om han ikkje heiar på Brann (raud pil på figuren nedanfor), men etter påstand 1 heiea han då på Brann, og vi har ei sjølvmotseiing. (Anten heiar ein på Brann eller så gjer ein det ikkje.)

Påstand 2 kan altså ikkje vere gal dersom påstand 1 er rett. Tilsvarande kan vi vise at påstand 1 ikkje kan vere gal dersom påstand 2 er rett. Det er altså ingen skilnad på påstand 1 og påstand 2.
Vi seier at påstand 1 og påstand 2 er kontrapositive påstander.

I nokre tilfelle er det vanskeleg å føre eit direkte prov for ein påstand, mens det derimot kan vere mye enklare å føre eit prov for den kontrapositive påstanden.

Vi kan generalisere dømet ovanfor ved å kalle setninga «Per er bergensar» for $p$ , og setninga «Per heiar på Brann» for $q$ . Då kan vi på logikkspråket kalle setninga «Per er ikkje bergensar» for "ikkje $p$ ", og «Per heiar ikkje på Brann» for "ikkje $q$ " .

Vi har då vist følgjande:

Vi ønskjer å prove påstanden

$p \Rightarrow q$

Dette er det same som å prove at

$ikkje q \Rightarrow ikkje p$

Døme

Vi skal prove at

$n^{2} er partal \Rightarrow n er partal$

Det kan vi gjere ved å vise at

$n er ikkje partal \Rightarrow n^{2} er ikkje partal$

Prov

$\begin{matrix} n er ikkje partal \\ ⇓ \\ n er oddetal \\ ⇓ \\ n = 2 t + 1 (t er eit heilt tal) \\ ⇓ \\ n^{2} = 4 t^{2} + 4 t + 1 = 2 (2 t^{2} + 2 t) + 1 \end{matrix}$

Det siste uttrykket må vere eit oddetal.
Altså er $n^{2}$ ikkje partal, og setninga er prova.

Prov med motdøme

Påstand
«Ingen elever i klassa mi bruker briller.»

Vi kan prove at denne påstanden er gal, dersom vi kan finne ein elev i klassa som bruker briller.

Merk!

Vi kan motprove ein påstand med eit motdøme.

Vi kan aldri prove ein påstand med eit døme.