Andre matematiske bevis
1.3.20
I denne oppgåva skal vi bruke eit epsilon-delta-bevis for å bevise
Vi må altså vise at det for alle tal
a) Vis at
Løysing
Legg merke til at vi ikkje treng å behalde absolutteiknet i nemnaren sidan dette uttrykket alltid vil vere positivt. Rota av eit tal er jo alltid positiv, og summen av to positive tal er òg alltid positiv.
b) Forklar at
Løysing
Gitt to brøkar med positiv teljar og nemnar der teljaren er lik, vil brøken med størst nemnar gi det minste resultatet.
Vi har at
c) Set
Løysing
Vi har at
Uttrykket til venstre kjenner vi igjen frå b), så vi kan konkludere med at
d) Forklar korleis det vi no har funne, beviser at
Løysing
Dersom vi kan finne eit tal
1.3.21
a) Vis at ekvivalensen
Løysing
Vi startar med å gå frå venstre til høgre og vise implikasjonen
Vi har i alle tilfelle at
Forklaring: Vi gongar med
Vi har òg i alle tilfelle at
Forklaring: Dersom
Dersom vi no set venstre side i ekvivalensen som føresetnad og set saman dei to samanhengane, får vi
Dermed har vi òg at
Vi skal no vise at
Vi har at
Ifølge føresetnaden har vi at
Vi har dermed bevist at
b) Vis at
Tips til oppgåva
Vi har for alle reelle tal
Det betyr at vi har vist ulikskapen over dersom vi kan vise at uttrykket
Løysing
Vi har at
Så vi kan halde fram:
Dersom vi no tek rota av begge sider, har vi vist samanhengen:
c) Vis at
Løysing
Vi legg merke til at ulikskapsteiknet står motsett veg, og vi bruker den same strategien som i b):
Dette gir
Q.e.d.
1.3.22
I fagartikkelen "Pytagorassetninga" finn du eit geometrisk bevis for pytagorassetninga om trekantar. Det finst mange slike. Eit av dei trur ein at ein av USAs tidlegare presidentar, president James A. Garfield, står bak. Det tek utgangspunkt i figuren, som er sett saman av tre rettvinkla trekantar. Bruk figuren til å bevise pytagorassetninga.
Tips
Figuren er eit trapes med parallelle sider
Løysing
Vi reknar først ut arealet ved hjelp av formelen for areal av trapes:
Så reknar vi ut arealet av trapeset ved å legge saman areala til dei tre trekantane:
Desse to uttrykka må vere like kvarandre sidan vi reknar ut arealet av den same firkanten:
Q.e.d.