I denne artikkelen får du jobbe med oppgåver om matematiske bevis som kanskje kan vere litt meir utfordrande.
1.3.20
I denne oppgåva skal vi bruke eit epsilon-delta-bevis for å bevise
Vi må altså vise at det for alle tal ε>0 finst eit tal δ>0 slik at 2x+3-3<ε og x-3<δ.
a) Vis at 2x+3-3=2x-32x+3+3.
Løysing
2x+3-3=2x+3-32x+3+32x+3+3=2x+3-92x+3+3=2x-32x+3+3
Legg merke til at vi ikkje treng å behalde absolutteiknet i nemnaren sidan dette uttrykket alltid vil vere positivt. Rota av eit tal er jo alltid positiv, og summen av to positive tal er òg alltid positiv.
b) Forklar at 2x-32x+3+3<2x-33.
Løysing
Gitt to brøkar med positiv teljar og nemnar der teljaren er lik, vil brøken med størst nemnar gi det minste resultatet.
Vi har at 2x+3+3>3 fordi rota av eit tal alltid er positiv, og dersom vi legg eit positivt tal til eit anna positivt tal, blir summen større enn kvart av tala. Dermed har vi at 2x-32x+3+3<2x-33.
c) Set x-3<32ε. Vis at dette betyr at 2x+3-3<ε.
Løysing
Vi har at
x-3<32ε|·2323x-3<ε
Uttrykket til venstre kjenner vi igjen frå b), så vi kan konkludere med at
2x-32x+3+3<ε2x+3-3<ε
d) Forklar korleis det vi no har funne, beviser at limx→32x+3=3.
Løysing
Dersom vi kan finne eit tal δ>0 for alle ε>0 slik at 2x+3-3<ε og x-3<δ, er grenseverdien bevist. Vi har no bevist at same kva ε er, kan vi finne ein slik δ ved å setje δ=32ε.
1.3.21
a) Vis at ekvivalensen a≤b⇔-b≤a≤b held.
Løysing
Vi startar med å gå frå venstre til høgre og vise implikasjonen a≤b⇒-b≤a≤b:
Vi har i alle tilfelle at a≤b⇔-a≥-b⇔-b≤-a.
Forklaring: Vi gongar med (-1) på begge sider og snur ulikskapsteiknet.
Vi har òg i alle tilfelle at -a≤a≤a.
Forklaring: Dersom a er positiv vil, a=a og -a=-a<a. Dersom a er negativ, har vi at -a=a, og at a<a. Dersom a=0, er alle verdiane lik 0 og dermed like.
Dersom vi no set venstre side i ekvivalensen som føresetnad og set saman dei to samanhengane, får vi
-b≤-a≤a≤a≤b
Dermed har vi òg at -b≤a≤b.
Vi skal no vise at -b≤a≤b⇒a≤b. Her må vi dele opp i to situasjonar, der a≥0, og der a<0.
a≥0:
Vi har at a=a, og ifølge føresetnaden er a≤b, så vi har at a≤b, og implikasjonen er oppfylt.
a<0:
Ifølge føresetnaden har vi at -b≤a, noko som medfører b≥-a. Sidan a er negativ, har vi at a=-a, og dermed òg at a≤b. Implikasjonen er oppfylt òg for negative tal.
Vi har dermed bevist at a≤b⇔-b≤a≤b.
b) Vis at a+b≥a+b.
Tips til oppgåva
Vi har for alle reelle tal x og y at dersom x2>y2, er òg x2>y2.
Det betyr at vi har vist ulikskapen over dersom vi kan vise at uttrykket a+b2 er større enn eller lik a+b2.
Løysing
a+b2=a2+2·ab+b2=a2+2·a·b+b2
Vi har at 2·a·b≥2·a·b sidan uttrykket til venstre inneheld berre positive tal, mens uttrykket til høgre kan vere negativt dersom anten a eller b er negativ.
Så vi kan halde fram:
a+b2=a2+2·ab+b2=a2+2·a·b+b2≥a2+2ab+b2=(a+b)2=a+b2
Dersom vi no tek rota av begge sider, har vi vist samanhengen:
a+b2≥a+b2a+b≥a+b
c) Vis at a-b≤a-b.
Løysing
Vi legg merke til at ulikskapsteiknet står motsett veg, og vi bruker den same strategien som i b):
a-b2=a2-2·ab+b2=a2-2·a·b+b2≤a2-2ab+b2=(a-b)2=a-b2
Dette gir
a-b2≤a-b2a-b≤a-b
Q.e.d.
1.3.22
I fagartikkelen "Pytagorassetninga" finn du eit geometrisk bevis for pytagorassetninga om trekantar. Det finst mange slike. Eit av dei trur ein at ein av USAs tidlegare presidentar, president James A. Garfield, står bak. Det tek utgangspunkt i figuren, som er sett saman av tre rettvinkla trekantar. Bruk figuren til å bevise pytagorassetninga.
Tips
Figuren er eit trapes med parallelle sider a og b og høgde a+b. Rekn ut arealet av trapeset på to ulike måtar.
Løysing
Vi reknar først ut arealet ved hjelp av formelen for areal av trapes:
Atrapes=h·a+b2=a+b·a+b2=a2+2ab+b22
Så reknar vi ut arealet av trapeset ved å legge saman areala til dei tre trekantane:
Asumavtrekantar=a·b2+a·b2+c·c2=2ab+c22
Desse to uttrykka må vere like kvarandre sidan vi reknar ut arealet av den same firkanten: