Implikasjon, ekvivalens og nokre matematiske bevistypar

Riktig (eit kvadrat er alltid ein firkant).

Feil. For at det skal vere eit kvadrat, må alle sidene vere like lange, og vinklane må vere 90 grader.

Riktig. I ein rombe er kravet at alle sidene skal vere like lange. Storleiken på vinklane betyr ikkje noko. Det vil seie at eit kvadrat òg er ein rombe.

Riktig. I eit rektangel er kravet at to og to sider skal vere like lange og vinklane skal vere 90 grader. Det vil seie at eit kvadrat òg er eit rektangel.

Riktig. Summen av vinklane i ein trekant er 180 grader.

Når den eine vinkelen er 90 grader, må summen av dei to andre vere lik 90 grader, og kvar av dei må vere mindre enn 90 grader.

Feil. Vinklane i eit kvadrat må vere 90 grader.

Feil. Det kan regne i Noreg utan at det regnar i Bergen.

Riktig.

Riktig.

Riktig.

Feil. $x^2=4$ kan òg ha løysinga $x=2$.

Eit oddetal kan skrivast som $2k+1$. Finn eit uttrykk for neste oddetal, og summar desse to oddetala.

Bevis:

Eit tilfeldig oddetal kan skrivast som $2k+1$ der$k$er eit heilt tal.
Det etterfølgjande oddetalet må då ha ein verdi som er 2 større, altså$\left(2k+1\right)+2$.

Summen av desse tala blir då $2k+1+\left(2k+1\right)+2 = 4k+4 = 4\left(k+1\right)$

Sidan 4 er faktor i summen, må summen av tala kunne delast med 4. Q.e.d.

(Q.e.d. er ei forkorting for det latinske uttrykket "quod erat demonstrandum", som betyr "som var det som skulle synast".)

Bevis:

Eit tilfeldig partal kan skrivast som $2k$ der $k$ er eit heilt tal. Det følgjande partalet må då ha ein verdi som er 2 større, altså$2k+2$.

Det neste blir $2k+2+2$, og det fjerde følgjande partalet blir $2k+2+2+2$.

Summen av desse tala blir då

$\begin{array}{rcl}2k+\left(2k+2\right)+\left(2k+2+2\right)& & \\ +\left(2k+2+2+2\right)& =& 8k+12\\ & =& 4\left(2k+3\right)\end{array}$

Sidan 4 er faktor i summen, må summen av tala kunne delast med 4.

Q.e.d.

Bevis:

Eit tilfeldig rasjonalt tal kan skrivast som$\frac{m}{n}$der $m$ og $n$ er heile tal.

Eit anna tilfeldig rasjonalt tal kan skrivast som$\frac{p}{q}$der $p$ og $q$ er heile tal.

Summen av desse tala kan vi skrive som

$\frac{m}{n}+\frac{p}{q} = \frac{m·q}{n·q}+\frac{p·n}{q·n} = \frac{m·q+p·n}{n·q}$

Når vi multipliserer to heile tal med kvarandre, får vi eit nytt heilt tal. Når vi adderer to heile tal med kvarandre, får vi eit nytt heilt tal. Dette må bety at både teljaren og nemnaren i den nye brøken blir heile tal. Summen av dei to rasjonale tala blir dermed eit rasjonalt tal.

Bevis:

$\begin{array}{rcl} n \text{er eit oddetal} & \Rightarrow & n = 2t+1 \text{der} t \text{er eit heilt tal.}\\ & & \\ & \Downarrow & \\ n^2-1 & =& {\left(2t+1\right)}^2-1\\ & =& 4t^2+4t+1-1\\ & =& 4\left(t^2+t\right)\end{array}$

Talet 4 er dermed ein faktor i $n^2-1$, og følgjeleg er $n^2-1$ delelig med 4.

Bevis:

Anta at det første talet er eit partal. Eit tilfeldig partal kan skrivast som$2k$ der$k$er eit heilt tal. Det følgjande talet blir då $2k+1$.

Produktet blir $2k\left(2k+1\right) = 4k^2+2k = 2\left(2k^2+k\right)$.

2 er ein faktor i produktet, og følgjeleg er produktet eit partal.

Dersom det første talet er eit oddetal, kan det skrivast som $2k+1$ der $k$ er eit heilt tal. Det følgjande talet blir $2k+2$.

Produktet blir $\left(2k+1\right)\left(2k+2\right) = 4k^2+6k+2 = 2\left(2k^2+3k+1\right)$.

2 er ein faktor i produktet, og følgjeleg er òg her produktet eit partal.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{3-x} & =& 1\\ & \Downarrow & \\ 3-x & =& 1\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 2\end{array}$

Vi set prøve på svaret:

Venstre side: $\sqrt{3-x} =\sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$
Høgre side: 1

$x = 2$ er ei løysing av likninga.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{3x-2} & =& 4\\ & \Downarrow & \\ 3x-2 & =& 16\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 6\end{array}$

Vi set prøve på svaret:

Venstre side: $\sqrt{3x-2} =\sqrt{3·6-2} = \sqrt{16} = 4$
Høgre side: 4

$x = 6$ er ei løysing av likninga.

$\begin{array}{rcl}-2 & =& \sqrt{x-1}\\ & \Downarrow & \\ 4 & =& x-1\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 5\end{array}$

Vi set prøve på svaret:

Venstre side: $-2$
Høgre side: $\sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2$

$x = 5$ er ikkje ei løysing av likninga.

(Kommentar: Går det an å sjå direkte at likninga ikkje har løysing?)

$\begin{array}{rcl}x-2 & =& \sqrt{x-2} \\ & \Downarrow & \\ x^2-4x+4 & =& x-2\\ x^2-5 x+6 & =& 0 \\ x & =& 2 \vee x = 3\end{array}$

Vi set prøve på svaret $x = 2$.

Venstre side: $2-2 = 0$
Høgre side: $\sqrt{2-2} = 0$

$x = 2$ er ei løysing av likninga.

Vi set prøve på svaret $x = 3$.

Venstre side: $3-2 = 1$
Høgre side: $\sqrt{3-2} = 1$

$x = 3$ er òg ei løysing av likninga.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x+4}+x & =& 2 \\ \sqrt{2x+4} & =& 2-x\\ & \Downarrow & \\ 2x+4 & =& 4-4x+x^2\\ x^2-6 x & =& 0 \\ x\left(x-6\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 6\end{array}$

Vi set prøve på svaret $x = 0$.

Venstre side: $\sqrt{2·0+4}+0 =2$
Høgre side: $2$

$x = 0$ er ei løysing av likninga.

Vi set prøve på svaret $x = 6$.

Venstre side: $\sqrt{2·6+4}+6 = \sqrt{16}+6 = 10$
Høgre side: $2$

$x = 6$ er ikkje ei løysing av likninga.

$\begin{array}{rcl} x+\sqrt{4-4x} & =& 2\\ \sqrt{4-4x} & =& 2-x\\ & \Downarrow & \\ 4-4x & =& 4-4x+x^2\\ x^2 & =& 0\\ x & =& 0\end{array}$

Vi set prøve på svaret $x = 0$.

Venstre side: $0+\sqrt{4-4·0} = 2$
Høgre side: $2$

$x = 0$ er ei løysing av likninga.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{4x+4}- x & =& -2 \\ \sqrt{4x+4} & =& x-2 \\ & \Downarrow & \\ 4x+4 & =& x^2-4x+4\\ x^2-8x & =& 0\\ x\left(x-8\right) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 8\end{array}$

Vi set prøve på svaret $x = 0$.

Venstre side: $\sqrt{4·0+4}- 0 = 2$
Høgre side: $-2$

$x = 0$ er ikkje ei løysing av likninga.

Vi set prøve på svaret $x = 8$.

Venstre side: $\sqrt{4·8+4}- 8 = 6-8 = -2$
Høgre side: $-2$

$x = 8$ er ei løysing av likninga.

Kontrapositiv påstand: Det er riktig å seie at eg bestod eksamen.

Kontrapositiv påstand: Dei som har spelt fotball sjølve, liker å sjå ein fotballkamp.

Bevis:
Den kontrapositive påstanden blir:

$\begin{array}{rcl} n \text{er ikkje eit oddetal} & \Rightarrow & n^2 \text{er ikkje eit oddetal}\\ & \Updownarrow & \\ n \text{er eit partal} & \Rightarrow & n^2 \text{er eit partal}\end{array}$

Vi set $n = 2t t\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.
Då er$n^2 = 4t^2 = 2·\left(2t^2\right)$som må vere eit partal.

Då er den kontrapositive påstanden bevist og dermed er den opphavlege påstanden bevist.

Bevis:
$$ \begin{array}{rcl}& & n \text{er eit oddetal.}\\ & \Downarrow & \\ n & =& 2t+1 t\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& {\left(2t+1\right)}^2\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& 4t^2+4t+1\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& 4\left(t^2+t\right)+1\end{array}$$

Sidan 4 er ein faktor i $$ 4\left(t^2+t\right),$$ er dette ledda eit partal.
Følgjeleg er$n^2 = 4\left(t^2+1\right)+1$eit oddetal.

Bevis:

Vi fører først eit direkte bevis for påstanden$$ n \text{er eit partal.} \Rightarrow n^2 \text{er eit partal. }$$

Anta at$n$er eit partal. Vi kan då skrive

$$ \begin{array}{rcl} n & =& 2t t\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& {\left(2t\right)}^2 = 4t^2 =2·\left(2t^2\right) \Rightarrow n^2 \text{er eit partal}. Q.e.d.\end{array}$$

Vi fører så eit kontrapositivt bevis for påstanden:

$n^2$ er eit partal. $\Rightarrow n$ er eit partal.

Kontrapositiv påstand:

$n$ er eit oddetal. $\Rightarrow n^2$ er eit oddetal.

Anta at $n$ er eit oddetal. Då kan vi setje$n = 2t+1, t\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

$\begin{array}{rcl}n & =& 2t+1 , t\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ & \Downarrow & \\ n^2 & =& {\left(2t+1\right)}^2\\ & =& 4t^2+4t+1\\ & =& 2\left(2t^2+2t\right)+1\\ & =& 2k+1 , k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}$

Dermed blir $n^2$ eit oddetal.

Q.e.d.

Bevis:

Ein rombe er ein firkant som ikkje er eit rektangel.

Påstanden er ikkje riktig.

NB: Vi kan motbevise ein påstand med eit eksempel, men vi kan aldri bevise ein påstand med eit eksempel (ikkje med to eller fleire eksempel heller).

${\left(-6\right)}^2 = 36 > 25 og -6 < 5$

Påstanden er ikkje riktig.

$$\begin{gathered} x = -3 , y = -2 \Rightarrow x < y \\ \left.\begin{array}{r} x^2 = {\left(-3\right)}^2 = 9 \\ y^2 = {\left(-2\right)}^2 = 4 \end{array}\right\}\Rightarrow x^2 > y^2 \end{gathered}$$

Påstanden kan ikkje vere riktig.

$$\begin{gathered} x^2 = 4 , y^2 = 9 \Rightarrow x^2 < y^2 \\ \left.\begin{array}{r} x = 2 \\ y = -3\end{array}\right\}\Rightarrow x > y \end{gathered}$$

Påstanden kan ikkje vere riktig.

$$\begin{gathered} x^2 = 4 , y^2 = 4 \Rightarrow x^2 = y^2 \\ \left.\begin{array}{r} x = 2 \\ y =-2 \end{array}\right\}\Rightarrow x^2 = y^2, \text{men} x \ne y \end{gathered}$$

Påstanden kan ikkje vere riktig.

Dette må du berre finne ut av sjølv!

Dette må du finne ut av sjølv!