Den deriverte

På figuren har vi teikna grafen til funksjonen $$ f$$ (blå kurve). Vi ønskjer å finne den momentane vekstfarten til funksjonen $f$ i punktet $A\left(x, f\left(x\right)\right)$.

Vi gir $x$ eit tillegg $\mathrm{\Delta }x$ og får eit nytt punkt $B$ på grafen:

$B\left(x+\mathrm{\Delta }x, f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)\right)$

Vi trekkjer ein sekant (grøn linje) gjennom punkta $A$ og $B$.

Vi reknar ut stigingstalet $$ a$$ til denne linja.

$a=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-x}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}$

Vi har då funne eit uttrykk for gjennomsnittleg vekstfart frå $A$ til $B$.

Prøv sjølv

Vi lèt no punktet $B$ nærme seg punktet $A$. Vi lèt altså $\mathrm{\Delta }x$ gå mot null. På den interaktive figuren nedanfor kan du dra i punktet $$ B$$. Kva skjer når du dreg punktet mot punktet $$ A$$?

Når vi dreg punktet $$ B$$ mot punktet $$ A$$, vil sekanten (grøn) gradvis nærme seg til å bli ein tangent (raud linje) til grafen i punktet $A$.

Stigingstalet til denne tangenten fortel kor fort grafen veks akkurat i punktet $$ A$$. Vi kallar dette stigingstalet for den momentane vekstfarten eller den deriverte til $f$ i punktet A. Vi skriv $f^{\text{'}}\left(x\right)$ og les det som "f derivert av x". Legg merke til teiknet for den deriverte, ein liten apostrof på $f$: $f^{\text{'}}$.

Frå denne definisjonen av den deriverte i eit punkt $(x, f(x\left)\right)$ kan vi definere ein ny funksjon $f^{\text{'}}$ der vi til kvar $x$ tilordnar verdien $f^{\text{'}}\left(x\right)$. På denne måten har funksjonen $f$ generert ein ny funksjon $f^{\text{'}}$. Derfor kallar vi denne for den deriverte funksjonen.