Grunnleggande derivasjonsreglar

Ein konstant funksjon, $$ f\left(x\right)$$, har ingen variabel $$ x$$ og inneheld berre ein konstant $$ k$$.

$$ f\left(x\right)=k$$

Den deriverte til ein konstant funksjon blir $$ 0$$.

$$ f^{\text{'}}\left(x\right)=0$$

Her ser du tre døme:

$$ \begin{array}{lccccc}& \mathrm{Døme} 1& & \mathrm{Døme} 2& & \mathrm{Døme} 3\\ \mathrm{Funksjonen}& g\left(x\right)=3& & h\left(x\right)=\mathrm{\pi }& & p\left(x\right)=3{\mathrm{\pi }}^2\\ \mathrm{Den} \mathrm{deriverte}& g^{\text{'}}\left(x\right)=0& & h^{\text{'}}\left(x\right)=0& & p^{\text{'}}\left(x\right)=0\end{array}$$

Grafen til ein konstant funksjon

Grafen til ein konstant funksjon er ei vassrett linje. Han er ein lineær funksjon fordi grafen består av ei rett linje.

Fordi linja er rett, har ho lik stiging heile vegen, og sidan denne linja er vassrett, er stigingstalet lik 0. Derfor er den deriverte til ein konstant funksjon lik null. Tangenten til linja er sjølve linja.

Ein potensfunksjon er ein funksjon på formen $$ f\left(x\right)=x^r, r\in \mathrm{ℝ}$$.

Vi har at:

$$ \begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \end{array}& & \end{array}& & \end{array}f\left(x\right)=x^r\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=r·x^{r-1}$$

Bevis for regelen når eksponenten $$ r=2$$:

$$ f\left(x\right)=x^2$$

$$ \begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& = & \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{f(x+∆x)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{(x+∆x{)}^2-x^2}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{(\cancel{x^2}+2x∆x+{\left(∆x\right)}^2)-\cancel{x^2}}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{2x∆x+(∆x{)}^2}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{∆x(2x+∆x)}{∆x}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\frac{\cancel{∆x}(2·x+∆x)}{\cancel{∆x}}\\ & & \\ & =& \underset{∆x\to 0}{\lim }\left(2x+∆x\right)\\ & & \\ & =& 2x\end{array}$$

Vi har tidlegare sett at

• når $a$ er eit reelt tal ulikt frå 0 og $n$ eit naturleg tal, er $a^{-n}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\frac{1}{a^n}$
• når $a$ er eit positivt reelt tal, $n$ eit naturleg tal og $m$ eit heilt tal, så er $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$

Dette gjer at regelen for derivasjon av potensuttrykk kan brukast i svært mange tilfelle.

Døme på derivasjon av potensfunksjonar

Vi deriverer ein funksjon multiplisert med ein konstant ved å derivere funksjonen og multiplisere med konstanten.

Dette gir

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& a·g\left(x\right)\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& a·g^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}$$

Døme:

$$ \begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 5x^2\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 5·2x^{2-1}\\ & =& 10x\end{array}$$

Vi deriverer summar av og differansar mellom funksjonar ved å derivere ledd for ledd.

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)+h^{\text{'}}\left(x\right)\\ $ f\left(x\right)=g\left(x\right)-h\left(x\right)\begin{array}{ccc}& \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& \end{array}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)-h^{\text{'}}\left(x\right)$\end{array} \\ \end{gathered}$$

Døme:

$$ \begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& \frac{1}{3}{x}^3-2\sqrt{x}\\ & & \\ & =& \frac{1}{3}{x}^3-2·x^{\frac{1}{2}}\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(x\right) & =& \frac{1}{3}·3·x^{3-1}-2·\frac{1}{2}·x^{\frac{1}{2}-1}\\ & & \\ & =& \frac{3}{3}·x^2-\frac{2}{2}·x^{-\frac{1}{2}}\\ & & \\ & = & x^2-\frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ & & \\ & =& x^2-\frac{1}{\sqrt{x}}\end{array}$$