Ein eksponentialfunksjon er ein funksjon gitt på forma
der variabelen opptrer som eksponent i ein potens. Grunntalet i eksponenten er ein konstant større enn null, og er ein konstant.
Det er eit tal som peiker seg spesielt ut som grunntal i eksponentialfunksjonen, og det er talet
Utforsk
På figuren under ser du den blå grafen til funksjonen gitt ved
Dra i punktet på figuren over, og observer koordinatane til punktet og likninga til tangenten. Ser du nokon samanheng?
Vi observerer
Vi ser at andrekoordinaten til punktet er det same som stigingstalet til tangenten i punktet.
er jo andrekoordinaten til punktetf x , og stigingstalet til tangenten er den deriverte tilx .f - Korleis kan du beskrive det du fann over reint matematisk?
Vi observerer
Den deriverte til funksjonen
Konklusjonen blir at eksponentialfunksjonen
Dette gjer talet
Legg òg merke til at når
Kva gjer vi når eksponenten er ein funksjon av x?
Når eksponenten er ein funksjon av
Kva gjer vi når grunntalet ikkje er e?
Definisjonen av den naturlege logaritmen seier at kvart tal
Det gir at
Så bruker vi kjerneregelen:
Vi får følgjande derivasjonsregel for eksponentialfunksjonar: