Hopp til innhald
Fagartikkel

Pytagorassetninga

Vi bruker pytagorassetninga mellom anna til å finne ukjende sider i rettvinkla trekantar.

Kva er pytagorassetninga?

Teikn ein trekant som er rettvinkla og der dei kortaste sidene er tre og fire einingar lange. Figuren viser ein slik trekant som er teikna i GeoGebra. Mål den lengste sida. Blir denne fem einingar lang?

Ta no alle dei tre sidelengdene og multipliser dei med seg sjølve. Du får då kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengda c er c2=52=25.

Kvadratet av sidelengda a er a2=32=9.

Kvadratet av sidelengda b er b2=42=16.

Samanlikn summen av kvadrata til dei to kortaste sidene med kvadratet til den lengste sida. Kva ser du?

Vi ser at 25=9+16. Det er det same som c2=a2+b2.

Det viser seg at denne samanhengen gjeld for alle trekantar som har ein vinkel på 90°.

For å kunne formulere denne samanhengen med ord gir vi namn på sidene i rettvinkla trekantar.

Den lengste sida i ein rettvinkla trekant kallar vi hypotenus. Dei to kortaste sidene kallar vi katetar.

Pytagorassetninga:

hypotenus2=katet12+katet22

c2=a2+b2

Legg merke til namnsetjinga. Vi bruker store bokstavar som namn på punkt eller hjørne i trekanten. Små bokstavar blir brukte som namn og måltal for sidelengdene. Det er vanleg at vi har den same bokstaven på motståande hjørne og sider.

Geometrisk bevis for pytagorassetninga

Lag eit kvadrat med sidelengder a+b. Sjå figuren til høgre. Du kan til dømes klippe det ut av eit stivt papir, eller du kan teikne det i GeoGebra.

Del sidelengdene i to delar a og b, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten fire like rettvinkla trekantar. Hypotenusen i trekantane kallar du c.

Det grå arealet er eit kvadrat (kvifor?) med sidelengde c og areal c2.

Flytt på trekantane inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lagar du ei ny teikning. Bruk rutenett.)

Arealet av dei to store kvadrata er like store då sidelengdene er lik a+b .

Samla areal til dei fire rettvinkla trekantane er like store i begge figurane.

Det må bety at dei grå areala i dei to figurane er like store, altså at c2=a2+b2 . Dette er nettopp pytagorassetninga for dei rettvinkla trekantane våre.


Å finne ukjende sider i ein rettvinkla trekant

Døme 1. Hypotenusen er ukjend

Vi ønskjer å finne ut kor lang sida c på figuren er. Dette er hypotenusen i trekanten, og pytagorassetninga gir:

c2 = 2,02+5,02c2=4,0+25,0c2=29,0c=29,0c=5,385,4

Sida c er 5,4 centimeter.


Døme 2. Kateten er ukjend


Vi ser no på den neste trekanten. Denne gongen vel vi å bruke CAS for å finne den ukjende sida ved hjelp av pytagorassetninga:

Sida AB er 5,9 meter.




Døme 3. Eit praktisk døme

Ein stige skal plasserast 2,4 meter frå ein husvegg slik at han akkurat når opp til vindaugskarmen i eit vindauge i andre etasje. Vindaugskarmen er 4,6 meter over bakken.

Kor lang må stigen vere?

Løysing

La stigen vere x meter lang.

Pytagorassetninga gir

Stigen må vere 5,2 meter lang.

Lage rette vinklar ved hjelp av pytagorassetninga

Her kan du sjå ein video som viser korleis ein kan bruke pytagorassetninga i praksis når ein skal lage rette vinklar.

Sjå videoen, og etterpå kan du kanskje bruke noko av det du lærte til å sjekke om hjørna i klasserommet ditt eller i stova heime er rette? Alt du treng, er ein tommestokk eller eit måleband!

Video: Kjell Brørs / CC BY-SA 4.0