Hopp til innhald
Oppgåve

Volum og overflate

Dei fire første oppgåvene skal du løyse utan hjelpemiddel.

2.3.40

Ei eske har form som vist på figuren. Eska har ikkje lokk.

a) Rekn ut arealet av grunnflata.

Løysing

Arealet av grunnflata er 1 320 cm2=13,2 dm2.

b) Rekn ut volumet av eska. Gi svaret i liter.

Løysing

Volumet av eska er

26 400 cm3=26,4 dm3=26,4 L

c) Rekn ut arealet av overflata på utsida på eska.

Løysing

Overflata av eska er lik arealet av botnen pluss arealet av to langsider pluss arealet av to endesider, altså totalt fem sider.

Overflata er 4 600 cm2=46,0 dm2.

2.3.41

Ein kartong med appelsinjus har desse måla: høgde 24,0 cm, breidde 6,6 cm og djupne 6,4 cm.


Kor mykje rommar juskartongen? Gi svaret i liter.

Løysing

Kartongen rommar

1 013,8 cm3=1,0 dm3=1,0 L

2.3.42

Det er planlagt å grave ut ein 2 km lang kanal. Kanalen skal vere 2,5 m djup, 5 m brei øvst og 2,5 m brei i botnen. Sidene skrånar jamt.

Kor mange kubikkmeter masse må gravast ut?

Løysing

Talet på kubikkmeter som må gravast ut, er
18 750 m3.

2.3.43

Ein kakeboks har form som ein sylinder. Kakeboksen har ein diameter på 21,0 cm og ei høgde på 16,0 cm. Kor mange liter rommar kakeboksen?

Løysing

Kakeboksen rommar 5,54 liter.

2.3.44

Ein oljetank har form som ein sylinder. Oljetanken er 5,0 meter høg. Diameteren er 3,0 meter.

a) Kor mange liter olje rommar oljetanken?

Løysing

Volumet av oljetanken er

35 m3=35 000 dm3=35 000 liter

b) Rekn ut overflata av oljetanken.

Løysing

Overflata O av ein sylinder med topp og botn er gitt ved formelen

O=2πr·h+2·πr2

Overflata av oljetanken er 61 m2.

2.3.45

Ei gryte har form som ein sylinder. Gryta har ein diameter på 260 mm og rommar 8 liter. Rekn ut høgda til gryta.

Løysing

Høgda til gryta er 1,51 dm=15 cm.

2.3.46

Vi har gitt ein rett pyramide med kvadratisk grunnflate og høgde 6.

a) Rekn ut volumet av pyramiden.

Løysing

V = G·h3= 4·4·63= 32

b) Rekn ut høgda i trekanten som utgjer sideflata (dette er den stipla linja frå M til toppunktet).

Løysing

Vi bruker pytagorassetninga:

h2 = 22+62= 40h = 40= 6,326,3

c) Rekn ut overflatearealet til pyramiden.

Løysing

Vi har fire trekantar som utgjer sidekantane, og eit kvadrat som utgjer grunnflata:

O = A+4·A= 4·4+4·4·6,32= 16+4·2·6,3= 16+50,4= 66,4

2.3.47

Vi har gitt ei kjegle med radius 3,5 cm i grunnflata og som har sidekant lik 8,0 cm.

a) Rekn ut høgda i kjegla.

Løysing

Vi bruker pytagorassetninga:

h = 8,02-3,52= 51,75= 7,19 7,2

Høgda i kjegla er 7,2 cm.

b) Rekn ut volumet av kjegla.

Løysing

Vi bruker formelen:

V = πr2·h3= π·3,52·7,23= 92,3 92

Vi har at volumet er cirka 92 cm2.

c) Rekn ut overflatearealet til kjegla.

Løysing

Vi bruker formelen:

O = πr2+πrs= π3,52+π·3,5·8,0= 126

Overflatearealet til kjegla er 126 cm21,3 dm2

2.3.48

Gitt ei kjegle med radius 12,0 cm og høgde 24,0 cm.

a) Finn volumet av kjegla.

Løysing

Volumet av ei kjegle er gitt ved formelen

V=πr2·h3

Volumet av kjegla er 3 619 cm33,62 dm3.

b) Finn overflatearealet av kjegla.

Løysing

Overflata av ei kjegle med botn er gitt ved formelen
O=πr2+πr·s.

Vi finn først sidekanten s ved hjelp av pytagorassetninga.


Overflata av kjegla er 1 464 cm214,6 dm2.

2.3.49

Ein kuleforma appelsin har ein diameter på 8,0 cm.

a) Finn overflata av appelsinen.

Løysing

Overflata = 4·π·r2= 4·π·(4,0 cm)2= 200 cm2=2,0 dm2

b) Forklar kva overflata er i praksis.

Løysing

Overflata av appelsinen er arealet av skalet.

c) Finn volumet av appelsinen.

Løysing

Volumet = 4·π·r33= 4·π·(4,0 cm)33= 270 cm3=0,27 dm3

Skalet på appelsinen er 3 mm tjukt.

d) Finn volumet av den delen av appelsinen som går an å ete. (Sjå bort frå skalet, om du plar ete det ...)

Løysing

Radiusen av sjølve appelsinkjøtet:

4,0 cm-0,3 cm=3,7 cm

Volumet av appelsinen utan skal:

4·π·r33=4·π·(3,7 cm)33=210 cm3=0,21 dm3

e) Finn volumet av skalet.

Løysing

Volumet av skalet er ytre volum minus indre, altså

270 cm3-210 cm3=60 cm3

2.3.50

Ein kjeksis består av ein kjegleforma kjeks og ei halvkule med is øvst. Diameteren på kjeksen er 6,0 cm. Høgda på kjeksen er 12,0 cm.

a) Finn radiusen i kula.

Løysing

Radiusen i kula er den same som radiusen på kjeksen, det vil seie 3,0 cm.

b) Finn volumet av kjeksisen.

Løysing

Volumet av ei halvkule med is:

4·π·(3,0 cm)33·12

Volumet av ei kjegle med is:

π·(3,0 cm)2·12,0 cm3

Samla mengde is blir

170 cm3=0,17 L=1,7 dL

2.3.51

Ein tilhengjar har dei følgjande måla:

lengde: 2 037 mm
breidde: 1 160 mm
høgde: 350 mm

a) Kor mange liter rommar tilhengjaren?

Løysing

Vi løyser oppgåva i GeoGebra:

Tilhengjaren rommar 827 liter.

b) Den største nyttelasta tilhengjaren kan ha, er 610 kg. Kor tjukt lag med grus kan du fylle oppi tilhengjaren når 1 liter grus veg 2,5 kg?

Løysing

Her kan det vere greitt å setje opp ei likning. Vi kan rekne ut massen i kg ved å multiplisere talet på liter grus med talet på kg grus per liter. Talet på liter grus får vi ved å multiplisere lengda med breidda og vidare med den ukjende høgda, som vi her kallar h. Dette reknestykket skal bli 610 kg, som er den største nyttelasta.

Vi får

20,37 dm·11,60 dm·h·2,5kgdm3=610 kg

Her har vi teke med einingane for å kontrollere at vi ikkje har andre typar enn dm og kg. Når vi løyser dette i GeoGebra, kan vi skrive inn einingane og få talsvaret med riktig eining i tillegg. Då må vi i tilfelle bruke kommandoen Løys(likning, variabel) saman med knappen for numerisk utrekning:


Det kan fyllast eit gruslag med ei tjukne på 1,03 dm=10,3 cm.

Alternativ løysing

Vi finn først ut kor mange liter grus vi får av 610 kg. Deretter reknar vi ut arealet av grunnflata i tilhengjaren. Til slutt tek vi volumet av grus og deler på grunnflata for å finne høgda. Vi tek heile tida med einingane i CAS-utrekninga som kontroll.

2.3.52

Ei tresøyle har form som ein sylinder med diameter 30 cm og høgde 4,20 m. Søyla skal få to strøk måling. Ein liter måling dekkjer 6 m2. Kor mykje måling vil gå med?

Løysing

Vi reknar ikkje topp og botn i dette tilfellet.

Det vil gå med 1,3 liter måling.

2.3.53

Ei kjegle har radiusen 2,4 dm og ein sidekant på 6,4 dm.

a) Finn høgda i kjegla.

Løysing

Vi bruker pytagorassetninga og finn høgda:

(sidekant)2=(radiusen)2+(høgda)2s2=r2+h2

Høgda er 5,9 dm.

b) Finn volumet av kjegla.

Løysing

Volumet er 36 dm3.