Korleis bestemme den deriverte i eit punkt numerisk
2.3.40
Utvid programmet frå teorisida slik at ein brukar kan leggje inn eit valfritt punkt der ein skal finne den deriverte.
Løysingsforslag
1def f(x): 2 return x**3+4*x**2-x 3 4x = float(input("I kva punkt vil du finne den deriverte?")) 5 #innhentar det punktet vi skal finne den deriverte i 6avstand = 1 #kor langt vi skal gå til kvar side 7h = 0.0001 #kor nøyaktig vi krev at tilnærminga skal vere 8 9 10tangent = 20 #startverdi for den deriverte 11 12skilnad = h+1 #startverdi for while-lykkja 13 14 15while abs(skilnad) > h: #vilkåret for lykkja er at skilnaden mellom 16 #denne og førre tilnærming er større enn h 17 sek_v = (f(x)-f(x-avstand))/avstand #stigingstalet til venstre sekant 18 sek_h = (f(x+avstand)-f(x))/avstand #stigingstalet til høgre sekant 19 tangent_2 = (sek_v + sek_h)/2 #gjennomsnittet til dei to stigingstala 20 skilnad = tangent_2 - tangent #skilnaden mellom denne og førre tilnærming 21 tangent = tangent_2 #legg den siste tilnærminga inn i 22 #plasshalderen "tangent" 23 avstand = avstand/2 #halverer avstanden til punktet x = 1 24 25print(f"Den deriverte i {x} er tilnærma lik {tangent:.4f}.") 26
2.3.41
Ta utgangspunkt i funksjonen . Du skal no finne tilnærmingsverdiar til den deriverte i eit valfritt punkt ved hjelp av ein sekant som går gjennom to punkt på kvar side av dette punktet.
a) Skriv ein algoritme som du kan bruke som utgangspunkt for dette programmet.
Løysingsforslag
Først definerer vi funksjonen.
Vi må innhente x-verdien frå brukaren.
Vi må ha ein variabel for kor langt frå 1 punkt B og C skal liggje, vi startar med 1.
Vi må ha ei grense for kor nøyaktig tilnærminga skal vere.
Vi må ha ein startverdi for stigingstalet til sekanten gjennom B og C.
Vi må ha ein variabel for forskjellen mellom to etterfølgjande tilnærmingar.
Vi må lage ei lykkje som halverer avstanden frå punkt B og C til A så lenge forskjellen på to etterfølgjande tilnærmingar er større enn den grensa vi valde i punkt 4.
Vi må skrive ut tilnærminga når vi har kome langt nok.
b) Lag programmet.
Løysingsforslag
1def f(x): 2 return 2*x**3+x**2-2*x 3 4#definerer funksjonen 5 6x = float(input("I kva punkt vil du finne den deriverte?")) 7#innhentar det punktet vi skal finne den deriverte i 8avstand = 1 #lagar ein variabel som gir avstanden frå (1,f(1)) 9h = 0.0001 #lagar ei grense for kor nøyaktig tilnærminga skal vere 10 11tangent = abs((f(x+avstand)-f(x-avstand))/(2*avstand) + 2) 12#lagar ein variabel for første tilnærming og legg til 2 for å vere sikker 13#på at vilkåret i lykkja ikkje blir oppfylt i første ledd 14 15forskjell = sek - tangent 16#lagar ein variabel for forskjellen mellom to påfølgjande tilnærmingar 17 18while abs(forskjell) > h: 19 20 sek = (f(x+avstand)-f(x-avstand))/(2*avstand) 21 forskjell = sek - tangent 22 #finn forskjellen mellom dei to tilnærmingane 23 tangent = sek 24 #tilordnar tangentverdien til den førebels siste tilnærminga 25 avstand = avstand/2 #halverer forskjellen for å gå nærare 26 27print(f"Den deriverte i {x} er tilnærma lik {tangent:.4f}.")
c) Utvid programmet så du kan leggje inn ein valfri tredjegradsfunksjon.
Løysingsforslag
1def f(a,b,c,d,x): 2 return a*x**3+b*x**2-c*x+d 3 4#definerer funksjonen 5print("Ein tredjegradsfunksjon er på forma a*x^3+b*x^2+c*+d.") 6a = float(input("Kva er a i funksjonen din?")) 7b = float(input("Kva er b i funksjonen din?")) 8c = float(input("Kva er c i funksjonen din?")) 9d = float(input("Kva er d i funksjonen din?")) 10#hentar inn koeffisientane i tredjegradsfunksjonen 11 12x = float(input("I kva punkt vil du finne den deriverte?")) 13#innhentar det punktet vi skal finne den deriverte i 14avstand = 1 #lagar ein variabel som gir avstanden frå (m,f(m)) 15h = 0.0001 #lagar ei grense for kor nøyaktig tilnærminga skal vere 16 17 18tangent = abs((f(a,b,c,d,x+avstand)-f(a,b,c,d,x-avstand))/(2*avstand) + 2) 19#lagar ein variabel for første tilnærming og legg til 2 for å vere sikker 20#på at vilkåret i lykkja ikkje blir oppfylt i første ledd 21 22forskjell = sek - tangent 23#lagar ein variabel for forskjellen mellom to påfølgjande tilnærmingar 24 25while abs(forskjell) > h: 26 #lagar ei lykkje som testar nærare og nærare punktet 27 avstand = avstand/2 #halverer forskjellen for å gå nærare 28 sek = (f(a,b,c,d,x+avstand)-f(a,b,c,d,x-avstand))/(2*avstand) 29 forskjell = sek - tangent 30 #finn forskjellen mellom dei to tilnærmingane 31 tangent = sek 32 #tilordnar tangentverdien til den førebels siste tilnærminga 33 34print(f"Den deriverte i {x} er tilnærma lik {tangent:.4f}.")