Oppgåve

Korleis bestemme den deriverte i eit punkt grafisk

Korleis finn vi den momentane vekstfarten i eit punkt grafisk?

Dvergkanin. Foto. — Bilete: Thomas_G / Avgrensa bruksrett

2.3.20

På Kvassøy blir det sett ut kaninar. Dei formeirar seg raskt, og talet på kaninar på øya etter $x$ år er gitt ved $K (x) = \frac{360}{2 + 34 e^{- x}}$ .

a) Teikn grafen som viser kor mange kaninar det er på Kvassøy etter $x$ tal på år og finn ut kor mange kaninar som vart sette ut på øya.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet. Hugs å skrive inn aksetitlar.

Grafen til K av x er lik 360 delt på parentes 2 pluss 34 ganger e opphøgd i minus x parentes slutt er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå 0 til 16. Langs x-aksen står det x, år etter utsetjing, og langs y-aksen står det y, tal på kaninar på Kvassøy. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

Vi skriv inn $K (0)$ og får $10$ . Det vart sett ut $10$ kaninar på Kvassøy.

I algebrafeltet i GeoGebra er det skrive inn K av x er lik 360 delt på parentes 2 pluss 34 ganger e opphøgd i minus x parentes slutt. I linja under står det a er lik K av 0 er lik 10. Skjermutklipp. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

b) Finn grafisk kor mykje talet på kaninar på Kvassøy aukar per år etter det første året.

Løysing

Vi skriv (1, K(1)) inn i algebrafeltet og får eit punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangenten til $K$ i punktet. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = 21, 39$ . Etter det første året aukar talet på kaninar med $21, 4$ kaninar per år.

c) Finn grafisk momentan vekstfart for talet på kaninar på Kvassøy etter fem år.

Løysing

Vi skriv (5, K(5)) inn i algebrafeltet og får eit punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangenten til $K$ i punktet. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a =16, 6$ . Den momentane vekstfarten for talet på kaninar på Kvassøy etter fem år $16, 6$ kaninar per år.

d) Finn grafisk $K^{'} (10)$ .

Løysing

Vi skriv (10, K(10)) inn i algebrafeltet og får eit punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangenten til $K$ i punktet. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = 0, 14$ . $K^{'} (10) = 0, 14$ .

e) Kommenter $K^{'} (5) og K^{'} (10)$ . Kva vil tala seie for kaninbestanden på Kvassøy?

Løysing

$K^{'} (5)$ er $16, 6$ , og det betyr at etter nøyaktig $5$ år veks kaninbestanden på Kvassøy med $16, 6$ kaninar årleg. $K^{'} (10)$ er $0, 14$ , og det betyr at etter nøyaktig $10$ år aukar kaninbestanden på øya med berre $0, 14$ kaninar årleg. Vi ser at auken av kaninar på Kvassøy minkar vesentleg mellom $5$ og $10$ år etter at ein sette ut kaninar på øya. Dette passar godt med grafen som viser ei utflating i talet på kaninar på øya.

2.3.21

Under ser du grafen til $f (x)$ . På grafen er det teikna inn to punkt, og i kvart punkt er det teikna inn ein tangent som rører grafen. Finn momentan vekstfart i kvart av punkta.

Grafen til f av x er lik x i andre pluss 4 er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 5 til 7. Grafen har to punkt, og kvart punkt har ein tangent som rører grafen. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

Løysing

Ein kan finne den momentane vekstfarten i eit punkt ved å studere tangenten i punktet og til dømes å telje ruter eller å bruke formelen for stiginga for ei linje. Vi finn to punkt $(- 2, 8)$ og $(- 1, 4)$ på tangenten til venstre og ser at vi flyttar oss fire einingar nedover når vi flyttar oss éi eining bortover. (Legg merke til at éi rute i loddrett retning er to einingar.) Stiginga er derfor $- 4$ . I punktet $(2, 8)$ gjer vi det same og finn at stiginga til tangenten som rører punktet, er $4$ .

2.3.22

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + 4 x + 2$ .

a) Bestem stiginga til $f$ når $x = - 2$ grafisk.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriv (-2,f(-2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = 0$ , som viser at funksjonen har stiginga $0$ når $x = - 2$ .

Grafen til f av x er lik x i andre pluss 4 x pluss 2 er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 6 til pluss 6. Det er teikna inn eit punkt med koordinatane x er lik minus 2 og y er lik minus 2. Det er teikna inn ein tangent som rører grafen i punktet. Det står a er lik 0 ved tangenten. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

b) Bestem den deriverte til $f$ når $x = 1$ grafisk.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriv (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = 6$ som viser at den deriverte til $f$ er 0 når $x = 1$ .

Grafen til f av x er lik x i andre pluss 4 x pluss 2 er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 10 til pluss 10. Det er teikna inn eit punkt med koordinatane x er lik minus 1 og y er lik 7. Det er teikna inn ein tangent som rører grafen i punktet. Det står a er lik 6 ved tangenten. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

2.3.23

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$

a) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ når $x = - 2$ grafisk.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriv (-2,f(-2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = 10$ som viser at den momentane vekstfarten når $x = - 2$ er lik $10$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik x i tredje minus 2 x pluss 1 er teikna inn i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 6 til 7. Punktet på grafen der x er lik minus 2 og y er lik 3 er teikna inn. Det er teikna inn ein tangent i punktet, og stiginga til tangenten er lik 10. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

b) Bestem den deriverte til $f$ når $x = 2$ grafisk.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriv (2,f(2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = 10$ som viser at den deriverte når $x = - 2$ er lik $10$ .

c) Finn ekstremalpunkta, og bestem stiginga i punkta grafisk.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi finn ekstremalpunkta til funksjonen og lagar ein tangent i kvart ekstremalpunkt. Vi finn stiginga til kvar av tangentane, og begge stigingane er lik $0$ . Ekstremalpunkt slik som toppunktet og botnpunktet vi fann her, har stiging lik $0$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik x i tredje minus 2 x pluss 1 er teikna inn i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 6 til 7. Det er teikna inn to punkt på grafen i høvesvis toppunktet og i botnpunktet. I kvart punkt er det teikna inn ein tangent som rører grafen i punktet. Tangentane har stiging lik 0. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

2.3.24

Diskuter i par.

Grafen til f av x er lik x i tredje pluss 3 x i andre minus 2 er teikna inn i eit koordinatsystem med x-verdiar frå minus 3 komma 5 til pluss 3. Grafen til den deriverte til f, 3 x i andre pluss 6 x, er teikna inn i det same koordinatsystemet. Ein tangent rører grafen til f i punktet x er minus 2 og y er 2. Ein annan tangent rører grafen til f i punktet x er 0 og y er minus 2. På grafen til den deriverte av f er det teikna inn to punkt, x er minus 2 og y er null, og det andre punktet er x er 0 og y er 0. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

I biletet over ser de grafen til $f (x)$ (blå linje) og grafen til $f^{'} (x)$ (grøn linje). Det er merkt av fire punkt og to tangentar. Forklar og grunngi kva de ser på biletet.

2.3.25

Under ser du grafane til tre funksjonar, blå grafar, og deira deriverte, grøne grafar. Finn for kvar funksjon kva for ein derivert som høyrer til funksjonen, og forklar kvifor dei høyrer saman.

Funksjon	Den deriverte til funksjonen
Funksjon A Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0	Derivert 1 Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0
Funksjon B Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0	Derivert 2 Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0
Funksjon C Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0	Derivert 3 Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-NC 4.0

Løysing

Funksjon A høyrer saman med derivert 3.
Funksjon B høyrer saman med derivert 1.
Funksjon C høyrer saman med derivert 2.

2.3.26

Ein vakker sommardag i Røros vart temperaturen mellom kl. 9.00 og 19.00 i $° C$ gitt ved

$R (x) = - 0, 23 x^{2} + 2 x + 13$

Samtidig vart temperaturen i $° C$ i Kristiansand gitt ved

$K (x) = - 0, 42 x^{2} + 3, 2 x + 17$

For begge uttrykka gjeld at $x$ er talet på timar etter kl. 9.00.

a) Teikn grafane til $R$ og $K$ i det same koordinatsystemet for tidsrommet frå kl. 9.00 til kl. 19.00.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og kommandoen "Funksjon (<Funksjon>, <Start>, <Slutt>)". Vi set inn funksjonsuttrykka med start $0$ og slutt $10$ .

Grafene til funksjonane til K er lik minus 0,42 x i andre pluss 3,2 x pluss 17 og til R er lik minus 0,23 x i andre pluss 2 x pluss 13 er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå 0 til 11. Grafane stoppar ved x er lik 10. y-aksen har aksetittel y, grad celsius, og x-aksen har aksetittel x, timar etter kl. 9.00. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

b) Kva er den momentane vekstfarten til temperaturen i Kristiansand kl. 11.00 denne formiddagen?

Løysing

Vi bruker GeoGebra, skriv (2,K(2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = 1, 52$ , som viser at den momentane vekstfarten når $x = 2$ er lik $1, 52$ . Det betyr at kl. 11.00 den formiddagen steig temperaturen i Kristiansand med 1,52 grader celsius per time.

Grafane til funksjonane til K er lik minus 0,42 x i andre pluss 3,2 x pluss 17 og til R er lik minus 0,23 x i andre pluss 2 x pluss 13 er teikna i eit koordinatsystem med x-verdiar frå 0 til 11. Grafane stoppar ved x er lik 10. y-aksen har aksetittel y, grad celsius, og x-aksen har aksetittel x, timar etter kl. 9.00. Ved punktet x er lik 2 er det teikna inn ein tangent til grafen til K. Stigingstalet til tangenten er lik 1,52. Illustrasjon. — Bilete: Viveca Thindberg / CC BY-SA 4.0

c) Bestem temperaturstiginga kl. 18.00 i Røros.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriv (9,R(9)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a_{1} = - 2, 14$ , som viser at den momentane vekstfarten når $x = 9$ er lik $- 2, 14$ . Det betyr at kl. 18.00 den ettermiddagen sokk temperaturen i Røros med 2,1 grader celsius per time.

d) Finn $R^{'} (6) og K^{'} (6)$ , og forklar kva svaret betyr i praksis.

Løysing

Vi bruker GeoGebra og skriv funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriv (6,K(6)) og (6,R(6)) inn i algebrafeltet og får punkta. Vi bruker kommandoen "Tangent (<Punkt>,<Funksjon>)" og får tangentlinjene. Vi bruker kommandoen "Stiging (<Linje>)" og får $a = - 1, 84$ og $a = - 0, 76$ , som viser at den momentane vekstfarten i temperatur kl. 15.00 på dagen er $- 1, 8$ for Kristiansand og $- 0, 8$ for Røros. Vi ser at temperaturfallet er høgare i Kristiansand enn i Røros på det tidspunktet. Det betyr at kl. 15.00 den dagen sokk temperaturen i Kristiansand med 1,8 grader celsius per time, mens temperaturen i Røros sokk med 0,8 grader celsius per time på det same tidspunktet.

2.3.20

2.3.21

2.3.22

2.3.23

2.3.24

2.3.25

2.3.26

Reglar for bruk av teksten "Korleis bestemme den deriverte i eit punkt grafisk"