Vi har gitt firkanten ABCD der .
a) Forklar at ABCD er eit parallellogram.
Løysing
I eit parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Dersom to sider i ein firkant er like lange og parallelle, må òg dei to andre vere det. To like vektorar er både like lange og parallelle, og må dermed (viss dei ikkje ligg på linje) spenne ut eit parallellogram.
Vi set AB→=a→ og AD→=b→.
b) Uttrykk diagonalane AC→ og BD→ ved a→ og b→.
Løysing
AC→=AB→+BC→=AB→+AD→=a→+b→BD→=BA→+AD→=-AB→+AD→=-a→+b→
Diagonalane skjer kvarandre i punktet S.
c) Uttrykk AS→ ved a→ og b→ på to måtar. (Tips: Bruk det du fann i b).)
Løysing
AS→=t·AC→=t·a→+t·b→AS→=AB→+k·BD→=a→+k·-a→+k·b→=1-ka→+k·b→
d) Bruk resultata frå c) til å vise at skjeringspunktet mellom diagonalane i eit parallellogram er midtpunktet på diagonalane.
Løysing
Her må vi vise at AS→=12AC→ og BS→=12BD→, altså at t=k=12:
AS→=AS→t·a→+t·b→=1-ka→+k·b→t=1-k∧t=kt=1-tt=12=k
Vi har ein trekant ABC. Vi set AB→=a→ og AC→=b→.
Punkta D og E ligg slik at AD→=12AC→ og BE→=13BC→. Punktet F er skjeringspunktet mellom linjestykka BD og AE.
a) Uttrykk AE→ og BD→ ved a→ og b→.
Løysing
AE→=AB→+13BC→=AB→+13BA→+AC→=a→+13-a→+b→=23a→+13b→BD→=BA→+12AC→=-a→+12b→
b) Uttrykk AF→ ved a→ og b→. (Tips: Uttrykk AF→ på to måtar.)
Løysing
AF→=t·AE→=23ta→+13tb→AF→=AB→+k·BD→=a→+k·-a→+12b→=1-ka→+12kb→AF→=AF→23ta→+13tb→=1-ka→+12kb→23t=1-k ∧ 13t=12k⇒k=23t23t=1-23t43t=1⇒t=34AF→=34·AE→=23·34a→+13·34b→=12a→+14b→
Vi set no A = (-2,0), B = (4,0) og C = (4,10).
c) Bruk det du har funne i a) og b) til å bestemme koordinatane til D, E og F.
Løysing
a→=AB→=4--2,0=6,0b→=AC→=4--2,10-0=6,10OD→=OA→+AD→=OA→+12AC→=-2,0+126,10=-2+3,0+5=1,5OE→=OA→+AE→=-2,0+23a→+13b→=-2,0+236,0+136,10=-2+4+2,0+0+103=4,103OF→=OA→+AF→=-2,0+12a→+14b→=-2,0+126,0+146,10=-2+3+64,0+0+104=104,104D1,5,E4,103,F104,104