Hopp til innhald
Oppgåve

Å uttrykkje ein vektor på fleire måtar

Her kan du jobbe med oppgåver der du får bruk for å uttrykkje vektorar på fleire måtar.

4.3.10

Vi har gitt firkanten ABCD der AB=DC.

a) Forklar at ABCD er eit parallellogram.

Løysing

I eit parallellogram er to og to sider parallelle og like lange. Dersom to sider i ein firkant er like lange og parallelle, må òg dei to andre vere det. To like vektorar er både like lange og parallelle, og må dermed (viss dei ikkje ligg på linje) spenne ut eit parallellogram.

Vi set AB=a og AD=b.

b) Uttrykk diagonalane AC og BD ved a og b.

Løysing

AC=AB+BC=AB+AD=a+bBD=BA+AD=-AB+AD=-a+b

Diagonalane skjer kvarandre i punktet S.

c) Uttrykk AS ved a og b på to måtar. (Tips: Bruk det du fann i b).)

Løysing

AS=t·AC=t·a+t·bAS=AB+k·BD=a+k·-a+k·b=1-ka+k·b

d) Bruk resultata frå c) til å vise at skjeringspunktet mellom diagonalane i eit parallellogram er midtpunktet på diagonalane.

Løysing

Her må vi vise at AS=12AC og BS=12BD, altså at t=k=12:

AS=ASt·a+t·b=1-ka+k·bt=1-kt=kt=1-tt=12=k


4.3.11

Vi har ein trekant ABC. Vi set AB=a og AC=b.

Punkta D og E ligg slik at AD=12AC og BE=13BC. Punktet F er skjeringspunktet mellom linjestykka BD og AE.

a) Uttrykk AE og BD ved a og b.

Løysing

AE=AB+13BC=AB+13BA+AC=a+13-a+b=23a+13bBD=BA+12AC=-a+12b

b) Uttrykk AF ved a og b. (Tips: Uttrykk AF på to måtar.)

Løysing

AF=t·AE=23ta+13tbAF=AB+k·BD=a+k·-a+12b=1-ka+12kbAF=AF23ta+13tb=1-ka+12kb23t=1-k           13t=12kk=23t23t=1-23t43t=1t=34AF=34·AE=23·34a+13·34b=12a+14b

Vi set no A = (-2,0), B = (4,0) og C = (4,10).

c) Bruk det du har funne i a) og b) til å bestemme koordinatane til D, E og F.

Løysing

a=AB=4--2,0=6,0b=AC=4--2,10-0=6,10OD=OA+AD=OA+12AC=-2,0+126,10=-2+3,0+5=1,5OE=OA+AE=-2,0+23a+13b=-2,0+236,0+136,10=-2+4+2,0+0+103=4,103OF=OA+AF=-2,0+12a+14b=-2,0+126,0+146,10=-2+3+64,0+0+104=104,104D1,5,E4,103,F104,104