Hopp til innhald

Fagstoff

Koordinatane til eit punkt. Avstand i planet

Vi bruker ofte vektorrekning for å løyse geometriske problemstillingar. Vi kan til dømes finne koordinatane til eit punkt eller avstanden frå eit punkt til ei linje.

Å finne koordinatane til eit punkt

Biletet viser ein trekant ABC med punktet M som er midtpunktet på BC. Skjermutsnitt.

Gitt ABC i koordinatsystemet til høgre.
La M vere midtpunktet på BC.

Vi ønskjer å finne punktkoordinatane til
punktet M. Dette kan vi gjere ved å finne posisjonsvektoren til punktet, altså OM.

Biletet viser trekanten ABC med midtpunktet M på sida BC og vektorane OB, BM og OM. Skjermutsnitt.

Posisjonsvektoren til punktet M kan skrivast som summen av posisjonsvektoren til punktet B og halve vektoren som går frå B til C:

OM=OB+BM=OB+12BC=8, 1+126-8, 5-1=8, 1+12-2, 4=8, 1+-1, 2 = 7, 3

Dette betyr at punktet M har koordinatane (7, 3).

Tips!

Når du skal finne koordinatane til eit punkt, er det ofte lurt å finne posisjonsvektoren til punktet.

Avstand frå punkt til linje

Når vi skal finne ein slik avstand, er det viktig å hugse på at den kortaste avstanden frå eit punkt til ei linje er lengda av det linjestykket eller den vektoren som går frå punktet, og som står vinkelrett på linja.

Å finne høgda i ein trekant

Biletet viser ein trekant ABC og med høgda frå C vinkelrett ned på AB til punktet D. A har koordinatane 2,3, B 8,1 og C 6,5. Skjermbilete.
Opne bilete i eit nytt vindauge

Vi ønskjer å finne høgda frå CAB i figuren til høgre.

Denne høgda er det same som lengda av CD. Vi treng å finne koordinatane til punktet D for å rekne ut denne lengda.

Sidan D ligg på AB, må vektorane AD og AB vere parallelle. Det gir grunnlag for å setje opp dette uttrykket forCD:

CD = CA+AD    =CA+t·AB    =-4,-2+t6,-2    =-4+6t,-2-2t

Vektorane CD og AB skal vere ortogonale.

Det gir

                            CD·AB = 0   -4+6t,-2-2t·6,-2=0-4+6t·6+-2-2t·-2=0               -24+36t+4+4t=0                                 40t=20                                    t=12

Posisjonsvektoren til punktet D blir

OD=OA+AD=OA+t·AB=2, 3+126, -2=5, 2.

Det betyr at punktet D har koordinatane 5, 2. Høgda i trekanten blir lik lengda av CD.


CD=5-6, 2-5=-1, -3=1+9=10

Tips!

Metoden ovanfor kan brukast generelt til å finne avstanden frå eit punkt til ei linje når vi kjenner, eller kan finne, to punkt på linja.

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist fagleg oppdatert 05.01.2021

Læringsressursar

Vektorar brukte til å berekne ulike storleikar i planet