Vi har gitt punktet A (4,2) og vektorane
Finn koordinatane til punkta B, C, D og E.
Løysing
Vi finn posisjonsvektorane til dei ulike punkta:
OB→=OA→+AB→=4,2+2,4=4+2,2+4=6,6OC→=OB→+BC→=6,6+2,-1=6+2,6+-1=8,5OD→=OC→+CD→=8,5+-2,-6=8+-2,5+-6=6,-1OE→=OD→+DE→=6,-1+-6,1=0,0
Vi ser at punkta er B (6,6), C (8,5), D (6,-1) og E (0,0).
Vi har gitt punkta A (5,3), B (6,0) og C (11,5).
a) Finn eit punkt P på BC→ slik at AP→⊥BC→.
Løysing
Vi har at BP→=t·BC→ fordi BP→∥BC→.
Vi kan då finne uttrykk for AP→ og BC→ og setje skalarproduktet mellom dei lik 0:
BC→=11-6,5-0=5,5AP→=AB→+BP→=6-5,0-3+t·5,5=1,-3+5t,5t=1+5t,-3+5tBC→·AP→=05,5·1+5t,-3+5t=051+5t+5-3+5t=05+25t-15+25t=050t=10t=1050=15AP→=1+5·15,-3+5·15=2,-2OP→=OA→+AP→=5,3+2,-2=7,1
Dette betyr at P er (7,1).
b) Finn høgda i trekanten ABC frå A.
Løysing
Dette gjer vi ved å finne lengda av AP→.
AP→=22+-22=8
c) Bruk resultatet i b) for å finne arealet til trekanten ABC.
Løysing
BC→=52+52=50AΔ=BC→·AP→2=8·502=4002=202=10
Vi har gitt punktet A (2,3) og vektorane AB→=4,1 og AC→=3,-2.
a) Finn koordinatane til B og C.
Løysing
OB→=OA→+AB→=2,3+4,1=6,4OC→=OA→+AC→=2,3+3,-2=5,1B6,4C5,1
b) Finn lengda av AB→ og AC→.
Løysing
AB→=42+12=17AC→=32+-22=13
c) Finn vinkelen mellom AB→ og AC→.
Løysing
Vi bruker formelen for skalarproduktet:
AB→·AC→=AB→·AC→·cos∠AB→,AC→cos∠AB→,AC→=4·3+1·-217·13=1017·13∠AB→,AC→≈47,6o
d) Bruk opplysningane i b) og c) til å finne arealet til trekanten ABC.
Løysing
Sidan vi no kjenner to sidelengder og vinkelen mellom dei to sidene, kan vi bruke formelen for areal av trekantar:
T=12·AB→·AC→·sin∠AB→,AB→=12·13·17·sin47,6o=5,48≈5,5
e) Punktet D ligg slik at firkanten ACDB er eit parallellogram. Finn arealet av parallellogrammet.
Løysing
Dette parallellogrammet er dobbelt så stort som trekant ABC (tenk gjennom kvifor!), så arealet er 11.
f) Finn koordinatane til D.
Løysing
D:x,yCD→=x-5,y-1AB→=CD→4,1=x-5,y-14=x-5⇒x=91=y-1⇒y=2D:9,2
Vi har gitt punkta A (3,2), B (9,6) og C (2,10).
Finn avstanden frå C til linja gjennom A og B.
Løysing
Vi kallar fotpunktet frå C til linja for P og finn lengda av CP→:
CP→=CA→+AP→=CA→+t·AB→=1,-8+t6,4=1+6t,-8+4tCP→·AB→=01+6t,-8+4t·6,4=061+6t+4-8+4t=06+36t-32+16t=052t=26t=12CP→=1+6·12,-8+4·12=4,-6=42+62=52