Oppgave

Ein sirkel i planet

Her kan du jobbe med oppgåver om sirklar i planet.

4.3.20

a) Gitt ein sirkel med sentrum i $(1, 2)$ og radius 3. Finn likninga for sirkelen.

Løysing

$\begin{array}{l} {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2} \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 3^{2} \end{array}$

b) Gitt ein sirkel med sentrum i $(- 1, - 2)$ og diameter 6. Finn likninga for sirkelen.

Løysing

Radius i sirkelen blir 3, og vi kan setje:

$\begin{array}{rcl} {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} & = & r^{2} \\ {(x - (- 1))}^{2} + {(y - (- 2))}^{2} & = & r^{2} \\ {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} & = & 3^{2} \end{array}$

4.3.21

Bestem sentrum og radius til sirklane:

a) ${(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 2^{2}$

Løysing

Vi samanliknar med likninga: ${(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = r^{2}$

Vi ser at sirkelen har sentrum i $(1, - 3)$ og at $r = 2$ .

b) ${(x + 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 9$

Løysing

Vi ser at sirkelen har sentrum i $(- 2, 6)$ og at $r = 3$ .

c) $x^{2} + y^{2} = 100$

Løysing

Vi ser at sentrum er i $(0, 0)$ og at $r = 10$ .

4.3.22

Finn sentrum og radius til sirklane:

a) $x^{2} + 4 x + y^{2} - 2 y = 4$

Løysing

Vi lagar fullstendige kvadrat:

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + {(\frac{4}{2})}^{2} + y^{2} - 2 y + {(\frac{2}{2})}^{2} = 4 + {(\frac{4}{2})}^{2} + {(\frac{2}{2})}^{2} \\ x^{2} + 4 x + 2^{2} + y^{2} - 2 y + 1^{2} = 4 + 2^{2} + 1^{2} \\ \underset{{(x + 2)}^{2}}{\underset{⏟}{x^{2} + 4 x + 2}} + \underset{{(y - 1)}^{2}}{\underset{⏟}{y^{2} - 2 y + 1}} = 4 + 4 + 1 \\ {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3^{2} \end{array}$

Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i $(- 2, 1)$ og radius lik 3.

b) $x^{2} - 4 x + y^{2} = 12$

Løysing

Vi lagar fullstendige kvadrat:

$\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + y^{2} = 12 \\ x^{2} - 4 x + {(- 2)}^{2} + y^{2} = 12 + {(- 2)}^{2} \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 12 + 4 \\ {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4^{2} \end{array}$

Dette er likninga til ein sirkel med sentrum i $(2, 0)$ og radius lik 4.

c) $\frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2} y^{2} + 3 y = 13$

Løysing

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2} y^{2} + 3 y = 13 & | \cdot 2 \\ x^{2} - 2 x + y^{2} + 6 y = 26 \\ x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} + y^{2} + 6 y + {(\frac{6}{2})}^{2} = 26 + {(- 1)}^{2} + {(\frac{6}{2})}^{2} \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 26 + 1 + 9 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 36 \end{array}$

Dette er likninga til ein sirkel med sentrum i $(1, - 3)$ og radius lik 6.

4.3.23

Undersøk om likningane representerer sirklar. Viss dei gjer det, finn sentrum og radius.

a) $x^{2} + 4 + y^{2} + 9 = 14$

Løysing

Vi ordnar likninga:

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 14 - 4 - 9 \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}$

Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i $(0, 0)$ og radius lik 1.

b) $4 x^{2} + 4 y^{2} - 4 x + 12 y + 6 = 0$

Løysing

Vi ordnar likninga og lagar fullstendige kvadrat:

$\begin{array}{l} 4 x^{2} - 4 x + 4 y^{2} + 12 y = - 6 | \cdot \frac{1}{4} \\ x^{2} - x + y^{2} + 3 y = - \frac{6}{4} \\ x^{2} - x + {(- \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 3 y + {(\frac{3}{2})}^{2} = - \frac{6}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2})}^{2} \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = - \frac{6}{4} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4} \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 \end{array}$

Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ og radius lik 1.

c) $x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y + 18 = 0$

Løysing

Vi lagar fullstendige kvadrat:

$\begin{array}{l} x^{2} - 8 x + y^{2} + 2 y = - 18 \\ x^{2} - 8 x + 4^{2} + y^{2} + 2 y + 1^{2} = - 18 + 16 + 1 \\ {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = - 1 \end{array}$

Dette kan ikkje vere likninga for ein sirkel sidan vi får negativ høgre side. Likninga kan aldri bli oppfylt sidan venstresida alltid er positiv eller null, og høgresida er negativ.

d) $2 x^{2} - 2 x + 3 y^{2} + 2 y = 4$

Løysing

Dette kan ikkje vere likninga for ein sirkel. Grunnen er at vi ikkje har same tal føre begge andregradsledda.

4.3.24

Vi har gitt punkta $A (4, 5)$ og $B (6, 11)$ . Ein sirkel har $A B$ som diameter. Bestem likninga for sirkelen.

Løysing

Vi finn først sentrum i sirkelen, som er midtpunktet $M$ på $A B$ :

$\begin{array}{l} \vec{O M} = \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{A B} \\ [x, y] = [4, 5] + \frac{1}{2} [(6 - 4), (11 - 5)] \\ [x, y] = [4, 5] + \frac{1}{2} [2, 6] \\ [x, y] = [4 + 1, 5 + 3] \\ [x, y] = [5, 8] \end{array}$

Vi har altså $M (5, 8)$ .

Radius i sirkelen er gitt ved:

$\frac{1}{2} |\vec{A B}| = \frac{1}{2} |[2, 6]| = |[1, 3]| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10} = \sqrt{10}$

$\begin{array}{rcl} {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} & = & r^{2} \\ {(x - 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} & = & 10 \end{array}$

4.3.25

Ta utgangspunkt i sirkellikningane og uttrykk $y$ som ein funksjon av $x$ .

a) ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3^{2}$

Løysing

$\begin{array}{l} {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3^{2} \\ {(y - 1)}^{2} = 9 - {(x + 2)}^{2} \\ y - 1 = \pm \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} \\ y = \pm \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} + 1, x \in [- 5, 1] \end{array}$

For at $y$ skal vere ein funksjon av $x$ , må kvar verdi av $x$ gi éin verdi av $y$ .
Vi treng derfor to funksjonar for å beskrive sirkelen:

$\begin{array}{l} y_{1} = + \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} + 1, & x \in [- 5, 1] \\ og \\ y_{2} = - \sqrt{9 - {(x + 2)}^{2}} + 1, & x \in [- 5, 1] \end{array}$

b) ${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1$

Løysing

$\begin{array}{l} {(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 \\ {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2} \\ y + \frac{3}{2} = \pm \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} \\ y = \pm \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} - \frac{3}{2}, x \in [- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \\ y_{1} = + \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} - \frac{3}{2}, x \in [- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \\ y_{2} = - \sqrt{1 - {(x - \frac{1}{2})}^{2}} - \frac{3}{2}, x \in [- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}] \end{array}$

4.3.26

Ein rettvinkla trekant ABC i eit koordinatsystem. Vi har A(0,0), B(3,0) og C(3,4). Den rette vinkelen er i B. Skjermutklipp.

Vi har gitt ein rettvinkla trekant der $A (0, 0), B (3, 0)$ og $C (3, 4)$ . Sjå figur.

a) Finn lengda av $A C$ ved hjelp av pytagorassetninga.

Løysing

$\begin{array}{l} {(A C)}^{2} = {(A B)}^{2} + {(B C)}^{2} \\ {(A C)}^{2} = 3^{2} + 4^{2} \\ A C = 5 \end{array}$

Sett $A B = x, B C = y$ og $A C = 5$ .

b) Finn $y$ uttrykt ved $x$ .

Løysing

$\begin{array}{l} y^{2} = 5^{2} - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{(5^{2} - x^{2})} & , x \in [- 5, 5] \end{array}$

c) Teikn funksjonane du fann i b). Kva beskriv funksjonane?

Løysing

Vi kallar dei to løysingane i b) for $f (x) = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$ og $g (x) = - \sqrt{5^{2} - x^{2}}$ .

Bilete av to funksjonar som til saman gir ein sirkel med sentrum i origo og radius lik 5. Trekanten frå oppgåveteksten er òg teikna inn, og punkt C tangerer sirkelperiferien. Den øvste halvdelen har funksjonsuttrykk rota av fem i andre minus x i andre. Den nedste halvdelen av sirkelen har funksjonsuttrykk minus rota av fem i andre minus x i andre. Skjermutklipp.

Funksjonane beskriv kvar sin halvdel av sirkelen i figuren.

Sirkelen har sentrum i origo og radius lik 5.

4.3.20

4.3.21

4.3.22

4.3.23

4.3.24

4.3.25

4.3.26

Reglar for bruk av teksten "Ein sirkel i planet"