Hopp til innhald
Oppgåve

Ein sirkel i planet

Her kan du jobbe med oppgåver om sirklar i planet.

4.3.20

a) Gitt ein sirkel med sentrum i 1,2 og radius 3. Finn likninga for sirkelen.

Løysing

x-1,y-2=3x-12+y-22=3x-12+y-222=32x-12+y-22=32

b) Gitt ein sirkel med sentrum i -1,-2 og diameter 6. Finn likninga for sirkelen.

Løysing

Radius i sirkelen blir 3, og vi kan setje:

x--1,y--2=3x+12+y+22=3x+12+y+222=32x+12+y+22=32

4.3.21

Bestem sentrum og radius til sirklane:

a) x-12+y+32=22

Løysing

Vi samanliknar med likninga: x-x02+y-y02=r2

Vi ser at sirkelen har sentrum i 1,-3 og at r=2.

b) x+22+y-62=9

Løysing

Vi ser at sirkelen har sentrum i -2,6 og at r=3.

c) x2+y2=100

Løysing

Vi ser at sentrum er i 0,0 og at r=10.

4.3.22

Finn sentrum og radius til sirklane:

a) x2+4x+y2-2y=4

Løysing

Vi lagar fullstendige kvadrat:

x2+4x+422+y2-2y+222=4+422+222x2+4x+22+y2-2y+12=4+22+12x2+4x+2x+22+y2-2y+1y-12=4+4+1x+22+y-12=32

Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i -2,1 og radius lik 3.

b) x2-4x+y2=12

Løysing

Vi lagar fullstendige kvadrat:

x2-4x+y2=12x2-4x+-22+y2=12+-22x-22+y2=12+4x-22+y2=42

Dette er likninga til ein sirkel med sentrum i 2,0 og radius lik 4.

c) 12x2-x+12y2+3y=13

Løysing

12x2-x+12y2+3y=13|·2x2-2x+y2+6y=26x2-2x+-12+y2+6y+622=26+-12+622x-12+y+32=26+1+9x-12+y+32=36

Dette er likninga til ein sirkel med sentrum i 1,-3 og radius lik 6.

4.3.23

Undersøk om likningane representerer sirklar. Viss dei gjer det, finn sentrum og radius.

a) x2+4+y2+9=14

Løysing

Vi ordnar likninga:

x2+y2=14-4-9x2+y2=1

Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i 0,0 og radius lik 1.

b) 4x2+4y2-4x+12y+6=0

Løysing

Vi ordnar likninga og lagar fullstendige kvadrat:

4x2-4x+4y2+12y=-6   |·14x2-x+y2+3y=-64x2-x+-122+y2+3y+322=-64+-122+322x-122+y+322=-64+14+94x-122+y+322=1

Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i 12,-32 og radius lik 1.

c) x2-8x+y2+2y+18=0

Løysing

Vi lagar fullstendige kvadrat:

x2-8x+y2+2y=-18x2-8x+42+y2+2y+12=-18+16+1x-42+y+12=-1

Dette kan ikkje vere likninga for ein sirkel sidan vi får negativ høgre side. Likninga kan aldri bli oppfylt sidan venstresida alltid er positiv eller null, og høgresida er negativ.

d) 2x2-2x+3y2+2y=4

Løysing

Dette kan ikkje vere likninga for ein sirkel. Grunnen er at vi ikkje har same tal føre begge andregradsledda.

4.3.24

Vi har gitt punkta A4,5 og B6,11. Ein sirkel har AB som diameter. Bestem likninga for sirkelen.

Løysing

Vi finn først sentrum i sirkelen, som er midtpunktet MAB:

OM=OA+12ABx,y=4,5+126-4,11-5x,y=4,5+122,6x,y=4+1,5+3x,y=5,8

Vi har altså M5,8.

Radius i sirkelen er gitt ved:

12AB=122,6=1,3=12+32=10=10

x-5,y-8=10x-52+y-82=10x-52+y-822=102x-52+y-82=10

4.3.25

Ta utgangspunkt i sirkellikningane og uttrykk y som ein funksjon av x.

a) x+22+y-12=32

Løysing

x+22+y-12=32y-12=9-x+22y-1=±9-x+22y=±9-x+22+1   ,    x-5,1

For at y skal vere ein funksjon av x, må kvar verdi av x gi éin verdi av y.
Vi treng derfor to funksjonar for å beskrive sirkelen:

y1=+9-x+22+1,x-5,1ogy2=-9-x+22+1,x-5,1

b) x-122+y+322=1

Løysing

x-122+y+322=1y+322=1-x-122y+32=±1-x-122y=±1-x-122-32,x-12,32y1=+1-x-122-32,x-12,32y2=-1-x-122-32,x-12,32

4.3.26

Vi har gitt ein rettvinkla trekant der A0,0, B3,0 og C3,4. Sjå figur.

a) Finn lengda av AC ved hjelp av pytagorassetninga.

Løysing

AC2=AB2+BC2AC2=32+42AC=5

Sett AB=x, BC=y og AC=5.

b) Finn y uttrykt ved x.

Løysing

y2=52-x2y=±52-x2,x-5,5

c) Teikn funksjonane du fann i b). Kva beskriv funksjonane?

Løysing

Funksjonane beskriv kvar sin halvdel av sirkelen i figuren.

Sirkelen har sentrum i origo og radius lik 5.