a) Gitt ein sirkel med sentrum i 1 , 2 og radius 3. Finn likninga for sirkelen.
Løysing x - 1 , y - 2 = 3 x - 1 2 + y - 2 2 = 3 x - 1 2 + y - 2 2 2 = 3 2 x - 1 2 + y - 2 2 = 3 2
b) Gitt ein sirkel med sentrum i - 1 , - 2 og diameter 6. Finn likninga for sirkelen.
Løysing Radius i sirkelen blir 3, og vi kan setje:
x - - 1 , y - - 2 = 3 x + 1 2 + y + 2 2 = 3 x + 1 2 + y + 2 2 2 = 3 2 x + 1 2 + y + 2 2 = 3 2
Bestem sentrum og radius til sirklane:
a) x - 1 2 + y + 3 2 = 2 2
Løysing Vi samanliknar med likninga: x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2
Vi ser at sirkelen har sentrum i 1 , - 3 og at r = 2 .
b) x + 2 2 + y - 6 2 = 9
Løysing Vi ser at sirkelen har sentrum i - 2 , 6 og at r = 3 .
c) x 2 + y 2 = 100
Løysing Vi ser at sentrum er i 0 , 0 og at r = 10 .
Finn sentrum og radius til sirklane:
a) x 2 + 4 x + y 2 - 2 y = 4
Løysing Vi lagar fullstendige kvadrat:
x 2 + 4 x + 4 2 2 + y 2 - 2 y + 2 2 2 = 4 + 4 2 2 + 2 2 2 x 2 + 4 x + 2 2 + y 2 - 2 y + 1 2 = 4 + 2 2 + 1 2 x 2 + 4 x + 2 ⏟ x + 2 2 + y 2 - 2 y + 1 ⏟ y - 1 2 = 4 + 4 + 1 x + 2 2 + y - 1 2 = 3 2
Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i - 2 , 1 og radius lik 3.
b) x 2 - 4 x + y 2 = 12
Løysing Vi lagar fullstendige kvadrat:
x 2 - 4 x + y 2 = 12 x 2 - 4 x + - 2 2 + y 2 = 12 + - 2 2 x - 2 2 + y 2 = 12 + 4 x - 2 2 + y 2 = 4 2
Dette er likninga til ein sirkel med sentrum i 2 , 0 og radius lik 4.
c) 1 2 x 2 - x + 1 2 y 2 + 3 y = 13
Løysing 1 2 x 2 - x + 1 2 y 2 + 3 y = 13 | · 2 x 2 - 2 x + y 2 + 6 y = 26 x 2 - 2 x + - 1 2 + y 2 + 6 y + 6 2 2 = 26 + - 1 2 + 6 2 2 x - 1 2 + y + 3 2 = 26 + 1 + 9 x - 1 2 + y + 3 2 = 36
Dette er likninga til ein sirkel med sentrum i 1 , - 3 og radius lik 6.
Undersøk om likningane representerer sirklar. Viss dei gjer det, finn sentrum og radius.
a) x 2 + 4 + y 2 + 9 = 14
Løysing Vi ordnar likninga:
x 2 + y 2 = 14 - 4 - 9 x 2 + y 2 = 1
Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i 0 , 0 og radius lik 1.
b) 4 x 2 + 4 y 2 - 4 x + 12 y + 6 = 0
Løysing Vi ordnar likninga og lagar fullstendige kvadrat:
4 x 2 - 4 x + 4 y 2 + 12 y = - 6 | · 1 4 x 2 - x + y 2 + 3 y = - 6 4 x 2 - x + - 1 2 2 + y 2 + 3 y + 3 2 2 = - 6 4 + - 1 2 2 + 3 2 2 x - 1 2 2 + y + 3 2 2 = - 6 4 + 1 4 + 9 4 x - 1 2 2 + y + 3 2 2 = 1
Dette er likninga for ein sirkel med sentrum i 1 2 , - 3 2 og radius lik 1.
c) x 2 - 8 x + y 2 + 2 y + 18 = 0
Løysing Vi lagar fullstendige kvadrat:
x 2 - 8 x + y 2 + 2 y = - 18 x 2 - 8 x + 4 2 + y 2 + 2 y + 1 2 = - 18 + 16 + 1 x - 4 2 + y + 1 2 = - 1
Dette kan ikkje vere likninga for ein sirkel sidan vi får negativ høgre side. Likninga kan aldri bli oppfylt sidan venstresida alltid er positiv eller null, og høgresida er negativ.
d) 2 x 2 - 2 x + 3 y 2 + 2 y = 4
Løysing Dette kan ikkje vere likninga for ein sirkel. Grunnen er at vi ikkje har same tal føre begge andregradsledda.
Vi har gitt punkta A 4 , 5 og B 6 , 11 . Ein sirkel har A B som diameter. Bestem likninga for sirkelen.
Løysing Vi finn først sentrum i sirkelen, som er midtpunktet M på A B :
O M → = O A → + 1 2 A B → x , y = 4 , 5 + 1 2 6 - 4 , 11 - 5 x , y = 4 , 5 + 1 2 2 , 6 x , y = 4 + 1 , 5 + 3 x , y = 5 , 8
Vi har altså M 5 , 8 .
Radius i sirkelen er gitt ved:
1 2 A B → = 1 2 2 , 6 = 1 , 3 = 1 2 + 3 2 = 10 = 10
x - 5 , y - 8 = 10 x - 5 2 + y - 8 2 = 10 x - 5 2 + y - 8 2 2 = 10 2 x - 5 2 + y - 8 2 = 10
Ta utgangspunkt i sirkellikningane og uttrykk y som ein funksjon av x .
a) x + 2 2 + y - 1 2 = 3 2
Løysing x + 2 2 + y - 1 2 = 3 2 y - 1 2 = 9 - x + 2 2 y - 1 = ± 9 - x + 2 2 y = ± 9 - x + 2 2 + 1 , x ∈ - 5 , 1
For at y skal vere ein funksjon av x , må kvar verdi av x gi éin verdi av y . Vi treng derfor to funksjonar for å beskrive sirkelen:
y 1 = + 9 - x + 2 2 + 1 , x ∈ - 5 , 1 og y 2 = - 9 - x + 2 2 + 1 , x ∈ - 5 , 1
b) x - 1 2 2 + y + 3 2 2 = 1
Løysing x - 1 2 2 + y + 3 2 2 = 1 y + 3 2 2 = 1 - x - 1 2 2 y + 3 2 = ± 1 - x - 1 2 2 y = ± 1 - x - 1 2 2 - 3 2 , x ∈ - 1 2 , 3 2 y 1 = + 1 - x - 1 2 2 - 3 2 , x ∈ - 1 2 , 3 2 y 2 = - 1 - x - 1 2 2 - 3 2 , x ∈ - 1 2 , 3 2
Vi har gitt ein rettvinkla trekant der A 0 , 0 , B 3 , 0 og C 3 , 4 . Sjå figur.
a) Finn lengda av A C ved hjelp av pytagorassetninga.
Løysing A C 2 = A B 2 + B C 2 A C 2 = 3 2 + 4 2 A C = 5
Sett A B = x , B C = y og A C = 5 .
b) Finn y uttrykt ved x .
Løysing y 2 = 5 2 - x 2 y = ± 5 2 - x 2 , x ∈ - 5 , 5
c) Teikn funksjonane du fann i b). Kva beskriv funksjonane?
Løysing Funksjonane beskriv kvar sin halvdel av sirkelen i figuren.
Sirkelen har sentrum i origo og radius lik 5.