Hopp til innhald
Fagartikkel

Å uttrykkje ein vektor på fleire måtar

Vi kan uttrykkje ein vektor som ein sum av andre vektorar. No skal vi bruke dette til blant anna å utforske medianar i trekantar.

Å uttrykkje ein vektor som ein sum av andre vektorar

Vi ønskjer å uttrykkje vektorenAM ved hjelp av vektorane ABogAC.
M er midtpunktet på BC. Sjå figuren.

Vektoren AM kan uttrykkjast på to måtar:

AM=AB+BM ogAM=AC+CM

Vektorane BM og CM er like lange og motsett retta. Det betyr at

2·AM = AB+BM+AC+CM2·AM=AB+BM+AC-BM2·AM=AB+AC   AM=12AB+12AC

Å bruke basisvektorar

Mange geometriske problemstillingar kan løysast ved å uttrykkje ein vektor på to ulike måtar. Vi «følgjer to vegar» for å komme frå utgangspunkt til endepunkt.

Det vi eigentleg har gjort i dømet over, er å dekomponere AM ved hjelp av AB og AC. I nokre tilfelle kan det bli ryddigare om vi gir namn til vektorane vi bruker som basisvektorar. Vi skal bruke dette for å bevise ei viktig setning frå geometrien, nemleg mediansetninga.

Bevis for mediansetninga

Ein median i ein trekant er eit linjestykke som går frå eit hjørne til midtpunktet på den motståande sida (sjå biletet under)


Mediansetninga om trekantar lyder slik:


Dei tre medianane i ein trekant skjer kvarandre i eitt punkt. Dette skjeringspunktet deler medianane i forholdet 2 : 1.

Vi skal gjere beviset for mediansetninga i to trinn. Først (trinn 1) skal vi vise at skjeringspunktet S mellomAM2 og BM3 deler dei to linjestykka i forholdet 2 : 1. Så (trinn 2) skal vi vise at S òg ligg på linjestykket CM1 og deler dette i det same forholdet.

Trinn 1:

På trekanten har vi settAB=a og AC=b. Då får vi atBC=-a+b=b-a.

Vi startar med å uttrykkje vektoren AS på to ulike måtar ved hjelp av desse vektorane.

Først går vi direkte frå A til S. Vi veit at AS er parallell med AM2, derfor kan vi skrive AS=k·AM2:
AS=k·AM2=k·AB+12BC=k·a+12b-12a=12ka+12kbSå vel vi vegen om B og får at:
AS=AB+t·BM3=a+tBA+12AC=a+t-a+12b=1-ta+12tb

Desse to uttrykka beskriv den same vektoren og må altså vere like. Vi set dei lik kvarandre og løyser likningssettet vi no får:

12ka+12kb=1-ta+12tb12k=1-t12k=12tk=t12t=1-tt=23k=23

Første trinn i beviset er no ferdig – vi har vist at skjeringspunktet mellom to av medianane deler begge desse medianane i forholdet 2 : 1.

Trinn 2:

No skal vi vise at S òg ligg på den siste medianen og deler denne i forholdet 2 : 1. Dette inneber å vise at CS=23CM1.

Vi startar med å uttrykkje dei to vektorane ved hjelp av basisvektorane:

CS=CA+AS=-b+12·23a+12·23b=13a-23bCM1=CA+12AB=-b+12a=12a-b

Ved å rekne ut forholdet mellom koeffisientane til a og b kan vi fullføre beviset:

13a12a=23-23b-b=23CS=23CM1

Vi har no, ved hjelp av å uttrykkje ein vektor på to måtar, bevist både at alle medianane i trekanten kryssar kvarandre i eitt og same punkt, og at dette punktet deler alle medianane i forholdet 2 : 1.