Å uttrykkje ein vektor på fleire måtar
Vi ønskjer å uttrykkje vektoren ved hjelp av vektorane og.
er midtpunktet på . Sjå figuren.
Vektoren kan uttrykkjast på to måtar:
og
Vektorane og er like lange og motsett retta. Det betyr at
Mange geometriske problemstillingar kan løysast ved å uttrykkje ein vektor på to ulike måtar. Vi «følgjer to vegar» for å komme frå utgangspunkt til endepunkt.
Det vi eigentleg har gjort i dømet over, er å dekomponere ved hjelp av
Bevis for mediansetninga
Ein median i ein trekant er eit linjestykke som går frå eit hjørne til midtpunktet på den motståande sida (sjå biletet under)
Mediansetninga om trekantar lyder slik:
Dei tre medianane i ein trekant skjer kvarandre i eitt punkt. Dette skjeringspunktet deler medianane i forholdet 2 : 1.
Vi skal gjere beviset for mediansetninga i to trinn. Først (trinn 1) skal vi vise at skjeringspunktet S mellom
Trinn 1:
På trekanten har vi sett
Vi startar med å uttrykkje vektoren
Først går vi direkte frå A til S. Vi veit at
Desse to uttrykka beskriv den same vektoren og må altså vere like. Vi set dei lik kvarandre og løyser likningssettet vi no får:
Første trinn i beviset er no ferdig – vi har vist at skjeringspunktet mellom to av medianane deler begge desse medianane i forholdet 2 : 1.
Trinn 2:
No skal vi vise at S òg ligg på den siste medianen og deler denne i forholdet 2 : 1. Dette inneber å vise at
Vi startar med å uttrykkje dei to vektorane ved hjelp av basisvektorane:
Ved å rekne ut forholdet mellom koeffisientane til
Vi har no, ved hjelp av å uttrykkje ein vektor på to måtar, bevist både at alle medianane i trekanten kryssar kvarandre i eitt og same punkt, og at dette punktet deler alle medianane i forholdet 2 : 1.