Døme på korleis ein nyttar parameterframstilling

Vi vil i denne artikkelen sjå på eit døme på korleis vi kan nytte rette linjer i røynda. I oppgåvene vil du òg finne nokre døme på andre kurver.

For båtar som ferdast på havet, ønskjer vi til kvar tid oversikt over avstandar mellom dei og avstandar til eventuelle skjer i sjøen. Farten til båtane kan det òg vere greitt å ha oversikt over.

Reiseruta til to båtar dei første 5 timane er beskrivne med parameterframstillingane $m$ og $n$ gitt ved

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=20+30t\\ y=60-40t\end{array}\right. , n:\left\{\begin{array}{l}x=20s\\ y=-30+20s\end{array}\right.$$

Parametrane $s$ og $t$ står for talet på timar sidan båtane starta. Lengdemåla både i $$ x$$-retninga og $$ y$$-retninga er gitt i kilometer.

Parameteren $$ t$$ er tida til båt $$ A$$, båten som følgjer reiseruta $$ m$$. Denne båten startar når $$ t=0$$, det vil seie i punktet

$$ \left(20+30·0, 60-40·0\right)=\left(20, 60\right)$$

Etter til dømes 30 minutt er båten i punktet

$$ \left(20+30·0,5, 60-40·0,5\right)=\left(35, 40\right)$$

På tilsvarande måte er parameteren $$ s$$ tida til båt $$ B$$, båten som følgjer reiseruta $$ n$$. Kva punkt startar denne båten i, og kvar er denne båten 30 minutt etter at han startar?

Vil båtane kollidere?

For å finne svaret på dette må vi første finne ut om reiseruta til båtane kryssar kvarandre. Korleis kan vi ved rekning finne skjeringspunktet mellom linjene som beskriv reiserutene til båtane?

I skjeringspunktet er både $y$-koordinatane og $x$-koordinatane like store. Vi set uttrykka for $x$-koordinatane lik kvarandre, og gjer det same med uttrykka for $y$-koordinatane. Då får vi to likningar med to ukjende:

$$ \begin{array}{l}20+30t=20s \left(1\right)\\ \\ 60-40t=-30+20s \left(2\right)\end{array}$$

Den første likninga gir

$$ \begin{array}{rcl}20+30t & =& 20s\\ & \Downarrow & \\ s & =& \frac{2+3t}{2}\end{array}$$

Innsett i likning 2 får vi

$$ \begin{array}{rcl}60-40t & =& -30+20s\\ & \Downarrow & \\ 60-40t & =& -30+20·\frac{2+3t}{2}\\ & \Downarrow & \\ 60-40t & =& -30+20+30t\\ & \Downarrow & \\ -70t & =& -70\\ & \Downarrow & \\ t & =& 1\end{array}$$

Då har vi verdien til parameteren $t$ i skjeringspunktet. Innsett i parameterframstillinga for linja $m$ får vi

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}x=20+30·1=50\\ \\ y=60-40·1=20\end{array} \\ \end{gathered}$$

Skjeringspunktet er $$ (50, 20)$$.$$

I GeoGebra kan du finne skjeringspunktet mellom kurvene ved kommandoen "Skjering(<Objekt>,<Objekt>)", og du skriv Skjering(m,n).

Har vi no funne ut at båtane kolliderer?

Vi går ut frå at båtane starta samtidig. Då vil tidsparametrane starte samtidig for begge båtane.

I skjeringspunktet er $x$-koordinaten lik 50.

Som vi rekna ut over, vil båt $$ A$$ nå dette punktet når  $$ t=1$$, det vil seie etter 1 time.

For å finne ut når båt $$ B$$ er i det same punktet, kan vi setje $$ x$$-koordinaten lik 50:

$$ \begin{array}{rcl}20s & =& 50\\ & \Downarrow & \\ s & =& 2,5\end{array}$$.

Det vil seie at båt $$ B$$ er i punktet først etter 2,5 timar, altså vil ikkje båtane kollidere.

Dersom vi derimot lèt båt $$ B$$ starte 1,5 timar før båt $$ A$$, vil dei nå skjeringspunktet samtidig, og det vil vere akutt fare for kollisjon.

I den interaktive figuren under kan du sjølv sjå kva som skjer når båtane startar samtidig. Trykk på knappen for å slå sporinga av og på, og dra i den svarte knappen:

I parameterframstillingane for båtane har vi brukt ulike parametrar for båt $$ A$$ og båt $$ B$$. Det er fordi vi i utgangspunktet ikkje kan seie at dei startar samtidig, og då må parametrane vere ulike. Dersom vi bestemmer at båtane startar samtidig, kan vi bruke den same parameteren i begge parameterframstillingane.

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=20+30t\\ y=60-40t\end{array}\right. , n:\left\{\begin{array}{l}x=20t\\ y=-30+20t\end{array}\right.$$

Vi kan no finne eit uttrykk som viser avstanden mellom båtane som ein funksjon av $$ t$$.

Vektoren mellom eit vilkårleg punkt på reiseruta til båt $$ A$$ og eit vilkårleg punkt på reiseruta til båt $$ B$$ kan skrivast som

$$ \left[20t-(20+30t), -30+20t-(60-40t)\right]=\left[-20-10t, -90+60t\right]$$

Lengda til denne vektoren viser avstanden mellom båtane som funksjon av tida.

$$ \begin{array}{rcl}\left|\left[-20-10t, -90+60t\right]\right| & =& \sqrt{{\left(-20-10t\right)}^2+{\left(-90+60t\right)}^2}\\ & =& \sqrt{3700t^2-10400t+8500}\end{array}$$

Vi teiknar grafen til avstandsfunksjonen og finn grafisk den minste verdien denne funksjonen kan ha.

Båtane $$ A$$ og $$ B$$ har minst avstand etter 1,4 timar. Då er avstanden 35 kilometer.

Løysing i CAS

Vi kan løyse alle trinna i dømet over i CAS. Legg merke til at vi må kalle vektorane for høvesvis $$ m\left(t\right)$$ og $$ n\left(s\right)$$ for at vi skal kunne bruke dei vidare i CAS. Dette gir oss notasjon som vektorfunksjonar, som vi vil kome inn på lenger ned på sida.

Vi byrjar med å definere vektorane og å finne posisjonane til båt $$ A$$ etter ein time og etter ein halv time og båt $$ B$$ etter ein halv time:

Vi held fram med å setje opp likningssettet og finne punktet der dei to rutene kryssar kvarandre:

Til slutt finn vi den kortaste avstanden:

I posisjonen$$ \left(42, 31\right) $$ligg det eit skjer. Reiseruta til båt $$ A$$ bør av tryggingsgrunnar ikkje vere nærare enn 200 meter frå skjeret.

Vi finn den minste avstanden frå skjeret til reiseruta til båten.
Ein vektor mellom skjeret og eit generelt punkt på reiseruta til båten er gitt ved

$$ \left[20+30t-42, 60-40t-31\right]=\left[30t-22, -40t+29\right] $$

Båt $$ A$$ har den kortaste avstanden sin til skjeret når denne vektoren står normalt på retningsvektoren for reiseruta til båten, det vil seie når skalarproduktet mellom retningsvektoren og avstandsvektoren er lik 0. Her vel vi å løyse i CAS:

Den kortaste vektoren mellom skjeret og reiseruta til båten blir då

$$ \left[30·\frac{91}{125}-22, -40·\frac{91}{125}+29\right] =\left[-\frac{4}{25},-\frac{3}{25}\right]$$

Denne vektoren har lengde

$$ \sqrt{\frac{16}{{25}^2}+\frac{9}{{25}^2}}=\sqrt{\frac{25}{25·25}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}$$

Den kortaste avstanden frå skjeret til reiseruta til båt $$ A$$ er $$ \frac{1}{5}\mathrm{km}=200 \mathrm{m}$$. Det vil seie at reiseruta til båt $$ A$$ held sikker avstand til skjeret.

Til no har vi stort sett arbeidd med parameterframstillingar på koordinatform. Vi minner om at denne måten å skrive ei linje på er ei omskriving av posisjonsvektoren.

Vi tek for oss båt $$ A$$ og skriv parameterframstillinga slik:

$$ m:\left\{\begin{array}{l}x=20+30t\\ y=60-40t\end{array}\right.=\left[20+30t,60-40t\right]$$

Ofte vel vi å skrive parameterframstillingar som det vi kallar vektorfunksjonar. Akkurat som vi ofte bruker $$ f\left(x\right)$$ som standardnamn på vanlege funksjonar, bruker vi $$ \overrightarrow{r}\left(t\right)$$ som standardnamn på vektorfunksjonar som angir posisjonen til eit punkt. Då blir posisjonen til båt $$ A$$ slik:

$$ $ \overrightarrow{r}\left(t\right)=\left[20+30t,60-40t\right]$$$

Du har tidlegare jobba med å finne vekstfarten til funksjonar ved hjelp av derivasjon. Dette kan vi òg gjere med vektorfunksjonar. Vi finn fartsvektoren, oftast gitt ved $$ \overrightarrow{v}\left(t\right)$$ , ved å derivere begge koordinatane kvar for seg. Farten finn vi ved å rekne ut lengda av denne fartsvektoren. Vi finn farten til båt $$ A$$:

$$ \overrightarrow{v}\left(t\right)={\overrightarrow{r}}^{ \text{'}}\left(t\right)=\left[30,-40\right]$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}v =\left|\overrightarrow{v}\right|& =& \sqrt{{30}^2+{\left(-40\right)}^2}\\ & =& \sqrt{2 500}\\ & =& 50\end{array} \\ & & \end{array}$$

Sidan parameteren $$ t$$ står for timar og eininga på aksen er km, betyr dette at farten til båt $$ A$$ er 50 km/h. (Som oftast blir farten gitt i knop på sjøen.)

Når vi har med rette linjer å gjere, vil farten alltid bli konstant, og dermed vil akselerasjonen vere lik 0. I oppgåvene vil du møte på oppgåver med andre kurver. Då kan vi òg finne akselerasjonen ved å derivere endå ein gong.