Parameterframstillingar for linjer

Vi bruker $$ \overrightarrow{AB}$$:

$$ \overrightarrow{r_l}=\overrightarrow{AB}=\left[3-2,4-2\right]=\left[1,2\right]$$

Vi finn stigingstalet til ei linje ved å dele endringa i $$ y$$ på endringa i $$ x$$. Det betyr at vi kan finne stigingstalet til ei linje ved å dele $$ y$$-komponenten i retningsvektoren på $$ x$$-komponenten:

$$ \mathrm{stigingstalet} = \frac{y_{\overrightarrow{r_l}}}{x_{\overrightarrow{r_l}}}=\frac{2}{1}=2$$

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=2+2t\end{array}\right.$$

Viss $$ B$$ skal liggje på linja, må vi finne ein $$ t$$ slik at begge koordinatane til $$ B$$ passar i parameterframstillinga til $$ l$$. Vi set først $$ x=3$$, og så sjekkar vi om den $$ t$$-verdien vi då får gir $$ y=4$$:

$$ \begin{array}{l}x=2+t\\ 3=2+t\\ t=1\\ \\ y=2+2·1=2+2=4\end{array}$$

Vi ser at punktet $$ B$$ ligg på linja.

For å teikne linja for hand treng vi eitt punkt i tillegg til startpunktet i parameterframstillinga, som er $$ \left(3,1\right)$$.

Vi set inn $$ t=1$$:

$$ \begin{array}{l}x=3-2·1=3-2=1\\ y=1+1=2\end{array}$$

Vi teiknar inn dei to punkta og trekkjer linja mellom dei.

For å teikne linja i GeoGebra skriv vi

Kurve(3-2t,1+t,t,-3,3)

for å få fram linja. Hugs at vi må velje eit intervall for $$ t$$ for at GeoGebra skal kunne teikne linja.

Vi bruker den same retningsvektoren som i $$ m$$:

$$ \left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=2+t\end{array}\right.$$

Vi ser på retningsvektorane til linjene:

$$ \overrightarrow{r_l}=\left[-4,2\right]=2·\left[-2,1\right]=2·\overrightarrow{r_m}$$

Sidan retningsvektorane er parallelle, er òg linjene parallelle.

Vi ser at punktet (1,2) ligg både på $$ m$$ og $$ n$$. I tillegg har vi at dei to vektorane er parallelle. Dermed er dei to linjene identiske.

To linjer står vinkelrett på kvarandre dersom dei to retningsvektorane står vinkelrett på kvarandre. Vi viser at skalarproduktet mellom dei to retningsvektorane er lik 0:

$$ \left[-2,1\right]·\left[-1,-2\right]=\left(-2\right)·\left(-1\right)+1·\left(-2\right)=2-2=0$$

$$ l:\left\{\begin{array}{l}x=3-5t\\ y=-2+2t\end{array}\right.$$

Vi undersøkjer $$ B$$ først:

$$ \begin{array}{l}-2=3-5t\\ -5=-5t\\ t=1\\ \\ y=-2+2·1=-2+2=0\end{array}$$

$$ B$$ ligg altså på linja.

Så undersøkjer vi $$ C$$:

$$ \begin{array}{l}2=3-5t\\ -1=-5t\\ t=\frac{1}{5}\\ \\ y=-2+2·\frac{1}{5}=-2+\frac{2}{5}\ne 4\end{array}$$

Vi ser at $$ C$$ ikkje ligg på linja.