Skjering med koordinataksane. Linja på likningsform.

I koordinatsystemet til høgre har vi teikna ei rett linje gitt ved parameterframstillinga

$$ \left\{\begin{array}{l}x=-6+3t\\ y=3-t\end{array}\right.$$

Av parameterframstillinga ser du at linja går gjennom punktet $$ \left(-6, 3 \right) $$, for $$ t=0 $$ , og at $$ \left[3, -1\right] $$ er ein retningsvektor for linja.

I koordinatsystemet har vi markert punkta der linja skjer $x$- og
$y$-aksen. Korleis kan vi finne skjeringspunkta med koordinataksane ved rekning?

Skjering med x-aksen

Vi veit at der ei kurve skjer $x$-aksen, er andrekoordinaten lik 0, altså $y=0$.

Vi får

$y=0\Rightarrow 3-t=0\Rightarrow -t=-3\Rightarrow t=3$

For å finne $x$-verdien set vi $t=3$ inn i utrykket for $x$.

$x=-6+3t=-6+3·3=3$

Skjeringspunktet er då $\left(3, 0\right)$.

Skjering med y-aksen

Vi veit at i punktet der ei kurve skjer $y$-aksen, er førstekoordinaten lik 0, altså $x=0$.

Vi får då

$x=0\Rightarrow -6+3t=0\Rightarrow 3t=6\Rightarrow \frac{3t}{3}=\frac{6}{3}\Rightarrow t=2$

For å finne $y$-verdien set vi $t=2$ inn i utrykket for $y$.

$y=3-t=3-2=1$

Skjeringspunktet er då $\left(0, 1\right)$.

Av grafen til høgre ser du at linja gitt med parameterframstillinga er ei rett linje med stigingstal $$ \frac{-1}{3} $$.
Linja skjer $y$-aksen i punktet $$ \left(0, 1\right)$$.

Då veit du at denne linja kan bli uttrykt ved likninga $$ y=-\frac{x}{3}+1 $$.

Korleis kan vi finne likningsframstillinga for linja ved rekning?

Vi tek utgangspunkt i parameterframstillinga

$$ \left\{\begin{array}{l}x=-6+3t\\ y=3-t\end{array}\right.$$

og startar med å uttrykkje $t$ ved hjelp av $$ y$$.

$$ y=3-t \Rightarrow t=3-y$$

Vi set dette utrykket for $t$ inn i utrykket for $$ x$$, og får
$$ \begin{array}{ccl}x& =& -6+3\left(3-y\right)\\ x& =& 3-3y\\ 3y& =& -x+3\\ y& =& -\frac{x}{3}+1\end{array}$$