Hopp til innhald
Oppgåve

Å nytte parameterframstillingar

Her kan du jobbe med oppgåver der du kan nytte det du har lært om parameterframstillingar.

4.4.20

Vi har gitt linjene  l:x=2ty=2-tog m:x=3+sy=2+s.

a) Finn punkta der linjene skjer aksane.

Løysing

Vi byrjar med linje l:

x=0y=02t=02-t=0t=0t=2y=2-0=2x=2·2=4

Linja l sine skjeringspunkt med aksane er (0,2) og (4,0).

x=0y=03+s=02+s=0s=-3s=-2y=2+-3=-1x=3+-2=1

Linja m sine skjeringspunkt med aksane er (0,-1) og (1,0).

b) Finn skjeringspunktet mellom dei to linjene.

Løysing

2t=3+s2-t=2+ss=2t-32-t=2+2t-33=3tt=1x=2·1=2y=2-1=1

Skjeringspunktet er (2,1).

Vi ser for oss at linjene beskriv kuler som trillar langs bakken. La t og s stå for sekund sidan kulene starta, og la eininga på aksane vere m.

c) Finn ut om kulene er på den same staden samtidig.

Løysing

For at kulene skal vere på den same staden samtidig, må s = t i skjeringspunktet:

2t=3+s2-t=2+ss=2t-32-t=2+2t-33=3tt=1s=2·1-3=-1

Vi ser at dei to parametrane ikkje er like, altså er ikkje kulene i skjeringspunktet samtidig.

d) Finn farta til dei to kulene.

Løysing

Vi finn farta ved å finne lengda av fartsvektorane.

Først l:

l(t) = 2t,2-tv(t) = 2,-1v = 22+-12= 5

Kula sin fart er 5 m/s.

m:

m(t) = 3+s,2+sm'(t) =1,1v = 12+12= 2

Denne kula sin fart er 2 m/s.

4.4.21

Ein by har mange rette gater. Om vi legg eit rutenett over byen, kan vi seie at sentralstasjonen er origo. Eit anna knutepunkt, stasjon B, ligg i punktet (15,20). Eininga på aksane er 100 meter.

Ei bussrute a som går frå sentralstasjonen, følgjer linja i parameterframstillinga, der t står for minutt:

a:x=5ty=2t

Ei anna bussrute b går frå stasjon B og følgjer linja i denne parameterframstillinga:

b:x=15+3ty=20-3t

a) Finn koordinatane til busstoppet dei to rutene har felles.

Løysing

Vi byter parameter i den eine linja og løyser likningssystemet:

5t=15+3s2t=20-3st=3+35s23+35s=20-3s6+65s=20-3ss=103x=15+3·103=25y=20-3·103=10

Vi har at koordinatane til det felles busstoppet er (25,10).

b) Forklar at dersom dei to bussane startar samtidig, vil dei ikkje vere på busstoppet samtidig.

Løysing

Om bussane skal vere på busstoppet samtidig, må det finnast ein t slik at begge linjene gir punktet (25,10). Vi veit at 103 gir dette for linje b. Vi sjekkar for linje a:

x=5·103=50325y=2·103=20310

Bussane er altså ikkje på busstoppet samtidig.

c) Det går ein buss frå sentralstasjonen klokka 15.20. Ein passasjer skal over på bussen som går frå stasjon B. Når kan denne bussen tidlegast gå dersom overgangen skal vere mogleg?

Løysing

Vi veit at bussen frå stasjon B bruker 3 minutt og 20 sekund til det felles busstoppet. (Dette veit vi fordi  t=103.)

Vi finn ut kva t er i møtepunktet for bussen som kjem frå sentralstasjonen:

x=5·t=25y=2·t=10t=5

Bussen frå sentralstasjonen er på møtepunktet klokka 15.25, det vil seie at bussen frå stasjon B må gå tidlegast 15.21.40 frå stasjonen.

d) Finn farta til bussen som går frå stasjon A. Gi svaret i km/h .

Løysing

Her opererer vi med konstant fart, sjølv om vi veit at bussar stoppar på busstoppa:

a(t) = 5t,2ta'(t) = 5,2v = 52+22= 29=5,385,4

Sidan eininga på aksane er 100 m og parameteren t står for minutt, betyr det at bussen beveger seg 540 m per minutt. Vi gjer om til km/h:

1min = 160h540m = 0,54km0,54km/min = 0,54km160h= 32,4km/h

4.4.22

Vi har gitt punkta A (-3,4) og B (2,3).

a) Finn parameterframstillinga til ei linje l som går gjennom A og B.

Løysing

Vi finn ein retningsvektor:

rl=AB=2--3,3-4=5,-1l:x=2+5ty=3-t

Her valde vi punkt B som utgangspunkt for parameterframstillinga, men vi kunne òg ha valt A:

l:x=-3+5ty=4-t

Ei anna linje m går gjennom origo og har retningsvektoren  rm=7,2.

b) Set opp ei parameterframstilling for denne linja, og finn skjeringspunktet C med l.

Løysing

m:x=0+7sy=0+2s=x=7sy=2s

2+5t=7s3-t=2st=3-2s2+53-2s=7s17=17ss=1x=7y=2

Skjeringspunktet er (7,2).

Ei tredje linje n står vinkelrett på l.

c) Finn ein retningsvektor for denne linja.

Løysing

Vi må finne ein vektor som står vinkelrett på retningsvektoren til l. Vi veit at vektorane x,y og -y,x er ortogonale, så vi kan bruke følgjande vektor:

rn=1,5

d) Linja n går gjennom C. Finn skjeringspunkta til n med aksane.

Løysing

Vi må først finne ei parameterframstilling for linja:

n:x=7+sy=2+5s

Så set vi dei to koordinatane lik 0 for å finne skjeringspunkta:

x=7+s=0s=-7y=2+5·-7=2-35=-33y=2+5s=0s=-25x=7+-25=335

Skjeringspunkta er altså (0,-33) og 335,0.

4.4.23

Til no har du berre jobba med parameterframstilling for rette linjer. Her skal du få sjå at ein kan framstille andre typar kurver på den same måten.

Ein spydkastar kastar spydet i ein parabelbane gitt ved parameterframstillinga:

s:x=20ty=2+20t-4,9t2

Her er t talet på sekund etter at spydet er kasta. x-aksen er langs bakken, og lengdene er målte i meter.

a) Teikn kurva som viser banen til spydet.

Løysing

Vi skriv Kurve(20t,2+20t-4.9t2,t,0,5) i GeoGebra og får denne kurva:

b) Rekn ut kor lang tid det vil ta før spydet treffer bakken og lengda på kastet.

Løysing

Spydet treffer bakken når y=0. Vi løyser likninga (løys ho gjerne i CAS):

2+20t+4,9t2=0t=-0,1t=4,18

Vi kan berre bruke den positive løysinga, så spydet landar etter cirka 4,18 sekund.

Lengda på kastet finn vi ved å setje inn t=4,18 i x-koordinaten.

c) Finn når spydet er på sitt høgaste, og kor høgt det er då.

Løysing

Her må vi finne ekstremalpunktet til kurva. I ein vanleg funksjon gjer vi dette ved å setje den deriverte lik 0, og det gjer vi òg i ein vektorfunksjon. Sidan det er høgda vi skal finne, er det y-koordinaten vi må derivere:

2+20t-4,9t2' = 0t = 2,04

Vi set inn i y-koordinaten:

y = 2+20·2,04-4,9·2,042= 22,41 22,4

Vi ser at spydet er på sitt høgaste etter cirka 2 sekund, og at spydet er cirka 22,4 m over bakken då.

d) Ein finn akselerasjonen ved å derivere posisjonsvektorfunksjonen to gonger og så rekne ut lengda av denne vektoren. Finn akselerasjonen til spydet.

Løysing

s(t)=20t,2+20t-4,9t2v(t) = s '(t)=20,20-9,8ta(t) = s ''(t)=v '(t)=0,-9,8a = a(t)= 02+-9,82= 9,82= 9,8

Akselerasjonen er altså 9,8 m/s2.