Å nytte parameterframstillingar
4.4.20
Vi har gitt linjene .
a) Finn punkta der linjene skjer aksane.
Løysing
Vi byrjar med linje
Linja
Linja
b) Finn skjeringspunktet mellom dei to linjene.
Løysing
Skjeringspunktet er
Vi ser for oss at linjene beskriv kuler som trillar langs bakken. La
c) Finn ut om kulene er på den same staden samtidig.
Løysing
For at kulene skal vere på den same staden samtidig, må
Vi ser at dei to parametrane ikkje er like, altså er ikkje kulene i skjeringspunktet samtidig.
d) Finn farta til dei to kulene.
Løysing
Vi finn farta ved å finne lengda av fartsvektorane.
Først
Kula sin fart er
Så
Denne kula sin fart er
4.4.21
Ein by har mange rette gater. Om vi legg eit rutenett over byen, kan vi seie at sentralstasjonen er origo. Eit anna knutepunkt, stasjon
Ei bussrute
Ei anna bussrute
a) Finn koordinatane til busstoppet dei to rutene har felles.
Løysing
Vi byter parameter i den eine linja og løyser likningssystemet:
Vi har at koordinatane til det felles busstoppet er
b) Forklar at dersom dei to bussane startar samtidig, vil dei ikkje vere på busstoppet samtidig.
Løysing
Om bussane skal vere på busstoppet samtidig, må det finnast ein
Bussane er altså ikkje på busstoppet samtidig.
c) Det går ein buss frå sentralstasjonen klokka 15.20. Ein passasjer skal over på bussen som går frå stasjon
Løysing
Vi veit at bussen frå stasjon
Vi finn ut kva
Bussen frå sentralstasjonen er på møtepunktet klokka 15.25, det vil seie at bussen frå stasjon
d) Finn farta til bussen som går frå stasjon
Løysing
Her opererer vi med konstant fart, sjølv om vi veit at bussar stoppar på busstoppa:
Sidan eininga på aksane er 100 m og parameteren
4.4.22
Vi har gitt punkta
a) Finn parameterframstillinga til ei linje
Løysing
Vi finn ein retningsvektor:
Her valde vi punkt
Ei anna linje
b) Set opp ei parameterframstilling for denne linja, og finn skjeringspunktet
Løysing
Skjeringspunktet er
Ei tredje linje
c) Finn ein retningsvektor for denne linja.
Løysing
Vi må finne ein vektor som står vinkelrett på retningsvektoren til
d) Linja
Løysing
Vi må først finne ei parameterframstilling for linja:
Så set vi dei to koordinatane lik 0 for å finne skjeringspunkta:
Skjeringspunkta er altså
4.4.23
Til no har du berre jobba med parameterframstilling for rette linjer. Her skal du få sjå at ein kan framstille andre typar kurver på den same måten.
Ein spydkastar kastar spydet i ein parabelbane gitt ved parameterframstillinga:
Her er
a) Teikn kurva som viser banen til spydet.
Løysing
Vi skriv Kurve(20t,2+20t-4.9t
2
,t,0,5)
i GeoGebra og får denne kurva:
b) Rekn ut kor lang tid det vil ta før spydet treffer bakken og lengda på kastet.
Løysing
Spydet treffer bakken når
Vi kan berre bruke den positive løysinga, så spydet landar etter cirka 4,18 sekund.
Lengda på kastet finn vi ved å setje inn
c) Finn når spydet er på sitt høgaste, og kor høgt det er då.
Løysing
Her må vi finne ekstremalpunktet til kurva. I ein vanleg funksjon gjer vi dette ved å setje den deriverte lik 0, og det gjer vi òg i ein vektorfunksjon. Sidan det er høgda vi skal finne, er det
Vi set inn i
Vi ser at spydet er på sitt høgaste etter cirka 2 sekund, og at spydet er cirka 22,4 m over bakken då.
d) Ein finn akselerasjonen ved å derivere posisjonsvektorfunksjonen to gonger og så rekne ut lengda av denne vektoren. Finn akselerasjonen til spydet.
Løysing
Akselerasjonen er altså 9,8 m/s2.