Hopp til innhald

Fagstoff

Parameterframstillingar for linjer

Ei linje kan beskrivast ved posisjonsvektoren til eit generelt punkt på linja.

Parameterframstilling

Biletet viser to punkt, A og B, og ei linje gjennom desse punkta. Dessutan viser biletet eit punkt P på linja, i tillegg til posisjonsvektorane til alle punkta. Skjermutklipp. — Parameterframstilling

Gitt to punkt $A$ og $B$ . La $P$ vere eit vilkårleg punkt på linja gjennom $A$ og $B$ . Då vil det alltid finnast ein skalar $t$ slik at

$\vec{A P} = t \cdot \vec{A B}$

Posisjonsvektoren til punktet $P$ kan då skrivast som

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ \vec{O P} & = & \vec{O A} + t \cdot \vec{A B} \end{array}$

Når $t$ gjennomløper alle verdiar, vil $P$ gjennomløpe heile linja.
Variabelen $t$ blir kalla ein parameter.
Posisjonsvektoren $\vec{O P}$ beskriv linja gjennom $A$ og $B$ ved hjelp av parameteren $t$ , og vi har ei parameterframstilling av linja.

La $A$ ha koordinatane $(1, 4)$ , og $B$ koordinatane $(3, 3)$ .

Parameterframstillinga for linja $l$ gjennom $A$ og $B$ blir

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + t \cdot \vec{A B} \\ = & [1, 4] + t [3 - 1, 3 - 4] \\ = & [1, 4] + t [2, - 1] \\ = & [1 + 2 t, 4 - t] \end{array}$

På koordinatform får vi

$x = 1 + 2 t \land y = 4 - t$

Det er vanleg å skrive parameterframstillinga til linja $l$ på forma

$l : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 4 - t \end{cases}$

Korleis framstiller vi kurva?

Ved papir og blyant

Vi lagar ein tabell som viser $x$ - og $y$ -koordinatane for utvalde verdiar av $t$ .

$x = 1 + 2 t \land y = 4 - t$

Vi kan så plotte punkta, $x$ - og $y$ - koordinatane, i eit koordinatsystem, og trekkje ei kurve gjennom punkta. I dette tilfellet blir kurva ei rett linje.

t	0	1	2	3	4	5
x	1	3	5	7	9	11
y	4	3	2	1	0	-1

Digitalt

På skrivelinja i GeoGebra kan du bruke kommandoen "Kurve(<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>)" og til dømes skrive Kurve(1+2t, 4-t, t, -1, 5) for å få plotta linjestykket for $t$ -verdiar mellom $- 1$ og 5.

(Legg merke til at dette ikkje er det same som at $x$ ligg mellom -1 og 5!)

Biletet viser linja x lik 2 t pluss 1, y lik minus t pluss 4 for t mellom minus 1 og 5. Skjermutklipp.

Generell kurve

Biletet viser ei linje med eit fast punkt A lik x-null y-null på linja og eit vilkårleg punkt P lik x y på linja. Dessuten viser biletet vektoren a,b parallell med linja. Skjermutklipp. — Parameterframstilling

I staden for å kjenne to punkt på linja, er det nok å kjenne eitt punkt $A = (x_{0}, y_{0})$ på linja og ein tilfeldig vektor $[a, b]$ som er parallell med linja. Vi kallar ein slik vektor for ein retningsvektor for linja.

Vi får

$\begin{array}{rcl} \vec{O P} & = & \vec{O A} + \vec{A P} \\ = & [x_{0}, y_{0}] + t \cdot [a, b] \\ = & [x_{0} + a t, y_{0} + b t] \end{array}$

Ei linje $l$ gjennom punktet $A = (x_{0}, y_{0})$ med retningsvektor $[a, b]$ , har parameterframstillinga
$l : \{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$

Nyttig å vite!

Legg òg merke til at linjene

$m : \{\begin{cases} x = x_{1} + a t \\ y = y_{1} + b t \end{cases} og n : \{\begin{cases} x = x_{2} - b t \\ y = y_{2} + a t \end{cases}$

står normalt på kvarandre sidan retningsvektorane til linjene gjer det.

$[a, b] ⊥ [- b, a]$

sidan

$[a, b] \cdot [- b, a] = a \cdot (- b) + b \cdot a = 0$

Video: Tom Jarle Christiansen

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 10.05.2021

Læringsressursar

Parameterframstillingar til linjer i planet