Hopp til innhald
Fagartikkel

Parameterframstillingar for linjer

Ei linje kan beskrivast ved posisjonsvektoren til eit generelt punkt på linja.

Parameterframstilling

Gitt to punkt A og B. La P vere eit vilkårleg punkt på linja gjennom A og B. Då vil det alltid finnast ein skalar t slik at

AP=t·AB

Posisjonsvektoren til punktet P kan då skrivast som

OP = OA+APOP=OA+t·AB

Når t gjennomløper alle verdiar, vil P gjennomløpe heile linja.
Variabelen t blir kalla ein parameter.
Posisjonsvektoren OP beskriv linja gjennom A og B ved hjelp av parameteren t, og vi har ei parameterframstilling av linja.

La A ha koordinatane (1, 4), og B koordinatane (3, 3).

Parameterframstillinga for linja l gjennom A og B blir

OP = OA+t·AB=1, 4+t3-1, 3-4=1, 4+t2, -1=1+2t, 4-t

På koordinatform får vi

x=1+2t       y=4-t

Det er vanleg å skrive parameterframstillinga til linja l på forma

l:x=1+2ty=4-t

Korleis framstiller vi kurva?

Ved papir og blyant

Vi lagar ein tabell som viser x- og y-koordinatane for utvalde verdiar av t.

x=1+2t         y=4-t

Vi kan så plotte punkta, x- og y- koordinatane, i eit koordinatsystem, og trekkje ei kurve gjennom punkta. I dette tilfellet blir kurva ei rett linje.

t

0

1

2

3

4

5

x

1

3

5

7

9

11

y

4

3

2

1

0

-1

Digitalt

På skrivelinja i GeoGebra kan du bruke kommandoen "Kurve(<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>)" og til dømes skrive Kurve(1+2t, 4-t, t, -1, 5) for å få plotta linjestykket for t-verdiar mellom -1 og 5.

(Legg merke til at dette ikkje er det same som at x ligg mellom -1 og 5!)

Generell kurve

I staden for å kjenne to punkt på linja, er det nok å kjenne eitt punkt A=x0, y0 på linja og ein tilfeldig vektor a, b som er parallell med linja. Vi kallar ein slik vektor for ein retningsvektor for linja.

Vi får

OP = OA+AP=x0, y0+t·a, b=x0+at, y0+bt

Ei linje l gjennom punktet A=x0, y0 med retningsvektor a, b, har parameterframstillinga
l: x=x0+aty=y0+bt

Nyttig å vite!

Legg òg merke til at linjene

m: x=x1+aty=y1+bt   og   n: x=x2-bty=y2+at

står normalt på kvarandre sidan retningsvektorane til linjene gjer det.

a, b-b, a

sidan

[a, b]·[-b, a]=a·-b+b·a=0

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0