Hopp til innhald
Oppgåve

Skalarproduktet

Her får du jobbe med oppgåver om skalarproduktet mellom vektorar på pilform.

4.1.20

I denne oppgåva skal du finne nokre cosinusverdiar du kjem til å trenge når du skal rekne med skalarproduktet. Legg deg desse verdiane på minnet for resten av R1-kurset!

Vi har ein trekant med vinklar på 30º, 60º og 90º, der lengda til den kortaste kateten er 1.

a) Finn den eksakte lengda til dei andre sidene i trekanten.

Løysing

I ein «30, 60, 90»-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den kortaste kateten. I denne trekanten blir lengda 2. Den andre kateten finn vi ved hjelp av Pytagoras-setninga:

22-12=3

b) Bestem dei eksakte verdiane til cos 30º og cos 60º.

Løysing

cos30°=hosliggandekatethypotenus=32cos60°=hosliggandekatethypotenus=12

Vi har ein likebeint, rettvinkla trekant der lengda til katetane er 1.

c) Finn den eksakte lengda til hypotenusen.

Løysing

Vi bruker Pytagoras-setninga:

h=12+12=2

d) Bestem cos 45º.

Løysing

cos45°=hosliggandekatethypotenus=12=122

4.1.21

Om to vektora, p og q, får du vite at p=7, q=3 og p,q=30o

a) Rekn ut p ·q og q·p.

Løysing

p·q = p·q·cosp,q=7·3·cos30°= 21·32=21·32q·p = q·p·cosq,p= 3·7·cos30°= 21·32=21·32

b) Finn p2

Løysing

p2 = p·p= p·p·cosp,p= 7·7·cos0°= 49·1= 49

c) Finn q2

Løysing

q2 = q·q= q·q·cosq,q= 3·3·cos0°= 9·1= 9

4.1.22

Vi har vektorane a og b der a=12, a,b=60o og a·b=24.

Finn lengda til b

Løysing

a·b = a·b·cosa,b24 = 12·b·cos60°b = 2412·cos60°= 246=4

4.1.23

Vi har gitt at u2=16
Finn u

Løysing

16 = u·u·cos0°u2 = 16cos0°= 16u = 16=4

4.1.24

Vi har vektorane a og b der a=12 og b=5. Skalarproduktet mellom a og b er 30 . Finn vinkelen mellom a og b

Løysing

30 = 12·5·cosa,bcosa,b = 3060=12a,b = 60°

4.1.25

Vi har vektorane a og b der a = 3 og b=8.Finn skalarproduktet mellom a ogb når

a) a,b=0o

b) a,b=30o

c) a,b=45o

d) a,b=60o

e) a,b=90o

f) a,b=120o

g) a,b=135o

h) a,b=150o

i) a,b=180o

Kan du sjå noko mønster i svara på denne oppgåva?

Løysing

a)a·b=3·8·cos0°=3·8·1=24b)a·b=3·8·cos30°=3·8·32=123c)a·b=3·8·cos45°=3·8·12·2=122d)a·b=3·8·cos60°=3·8·12=12e)a·b=3·8·cos90°=3·8·0=0f)a·b=3·8·cos120°=3·8·-cos60o=3·8·-12=-12g)a·b=3·8·cos135°=3·8·-cos45o=3·8·-122=-122h)a·b=3·8·cos150°=3·8·-cos30o=3·8·-32=-123i)a·b=3·8·cos180°=3·8·-1=-24

Vi kan sjå at skalarproduktet er størst når vinkelen er 0º gradar og minst når vinkelen er 180º. Vi legg merke til at skalarproduktet er 0 når vinkelen er 90º, og at skalarproduktet er positivt for spisse vinklar og negativt for stumpe vinklar.

4.1.26


Vi har vektorane a og b der a=5, b = 4 og a,b=60o

Rekn ut a·a+2b+2a·3b

Løysing

Vi har at

a·b=5·4·cos60°=10

og

a2=5·5·cos0°=25

Dermed får vi at:

a·a+2b+2a·3b = a2+2a·b+6a·b= a2+8a·b = 25+8·10= 105

4.1.27

Vi har vektorane a og b der a=3, b = 4 og a,b=60oVektorane e u og v er gitt ved u= a+2b og v=3a-4b.

a) Finn a·b,a2ogb2

Løysing

a·b=3·4·cos60°=3·4·12=6a2=a·a·cosa,a=3·3·cos0°=3·3·1=9b2=b·b·cosb,b=4·4·cos0°=4·4·1=16

b) Finn u og v

Løysing

u = a+2b2= a2+4ab+4b2= 9+4·6+4·16= 97v = 3a-4b2= 9a2-24ab+16b2= 9·9-24·6+16·16= 193

c) Finn u·v

Løysing

u·v=a+2b·3a-4b= 3a2-4a·b+6a·b-8b2= 3a2+2a·b-8b2= 3·9+2·6-8·16= -89

d) Finn vinkelen mellom u og v

Løysing

Vi bruker opplysningane frå b og c:

cosu,v=u·vu·v=-8997·193u,v=130,6°

4.1.28

La a=5, b=3, a,b=60o

Vi har vektorane u=a+b og v=a-b

a) Finn lengda til vektorane u og v

Løysing

u = u2u2 = a+b·a+b= a2+2ab+b2= 52+2·5·3·cos60°+32= 49u=49=7v = v2v2 = a-b·a-b= a2-2ab+a2= 52-2·5·3·cos60°+32= 19v=19

b) Finn vinkelen mellom u og v

Løysing

u·v = u·v·cosu,vcosu,v = u·vu·v= a+b·a-b7·19 = a2-b27·19= 25-97·19u,v = 58,4°

CC BY-SA 4.0Skrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.
Sist fagleg oppdatert 28.01.2022