Hopp til innhald

Fagstoff

Rekning med vektorar

Vi kan rekne med vektorar tilsvarande som med vanlege tal.

Før du les denne artikkelen, tilrår vi at du leikar litt med vektorar i oppgåve 4.1.10 og 4.1.11 på sida Rekning med vektorar.

I dømet med flyreiser på sida Definisjon av vektor har vi at vektoren frå Kristiansand direkte til Stavanger kan oppfattast som ein sum av forflyttingar. Vi kan altså finne summen av forflyttingane ved å "hengje alle forflyttingsvektorane etter kvarandre". Sumvektoren går frå utgangspunktet til den første vektoren til endepunktet til den siste vektoren.

Det gir altså meining å rekne med vektorar, men før vi kan gjere det, må rekneoperasjonane definerast presist.

Addisjon av vektorar

Addisjon av vektorar. Vektoren b har utgangspunktet sitt der vektoren a har endepunktet sitt, slik at dei to vektorane dannar sidene i ein trekant. Den siste sida er ei blå pil, som då er summen av vektorane a og b. Denne blå pila har same utgangspunkt som vektoren a og same endepunkt som vektoren b. Illustrasjon.

Definisjon

Gitt to vektorar, $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vi finn summen av vektorane, $\vec{a} + \vec{b}$ , ved å parallellforskyve $\vec{b}$ slik at han får utgangspunktet sitt der $\vec{a}$ har endepunktet sitt.

Summen av vektorane, $\vec{a} + \vec{b}$ , er lik vektoren
som går frå utgangspunktet til $\vec{a}$
til endepunktet til $\vec{b}$ .

Multiplikasjon av vektor med tal

Multiplikasjon av vektorar. Vektorane a, 2a, minus 2a og ein todels a er teikna inn. Alle vektorane går til høre, bortsett frå minus 2a, som går til venstre. Illustrasjon.

$2 \vec{a}$ er ein vektor som er dobbelt så lang som $\vec{a}$ og har same retning som $\vec{a}$ .

$- 2 \vec{a}$ er ein vektor som er dobbelt så lang som $\vec{a}$ og har motsett retning.

$\frac{1}{2} \vec{a}$ er ein vektor som er halvparten så lang som $\vec{a}$ og har same retning som $\vec{a}$ .

Definisjon

Gitt ein vektor $\vec{a}$ og eit tal $t \in ℝ$ .

$t \cdot \vec{a}$ er ein vektor med lengde lik absoluttverdien til $t$ multiplisert med lengda til $\vec{a}$ .

Dersom $t > 0$ , har $t \cdot \vec{a}$ same retning som $\vec{a}$ .
Dersom $t < 0$ , har $t \cdot \vec{a}$ og $\vec{a}$ motsett retning.

Dersom $t = 0$ , er $t \cdot \vec{a} = \vec{0}$ .

$\vec{0}$ kallar vi nullvektoren. Denne vektoren har ingen storleik og inga retning. Han er parallell med og står vinkelrett på alle andre vektorar.

Parallelle vektorar

Frå det førre avsnittet følgjer ei setning som du får bruk for når du skal undersøkje om to vektorar er parallelle.

To vektorar er parallelle viss og berre viss det finst eit reelt tal $t$ slik at den eine vektoren kan skrivast som $t$ multiplisert med den andre vektoren.

$\vec{a} ∥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} = t \vec{b}$ der $t \in ℝ$

Vektordifferanse

Definisjon

Subtraksjon vektorer. Vektorane a og minus b dannar sidene i ein trekant. Ei blå pil er den tredje sida i trekanten og representerer vektordifferansen a minus b. Illustrasjon

Vi definerer differansen mellom to vektorar på
følgjande måte:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

Det betyr at vi kan finne vektordifferansen $\vec{a} - \vec{b}$ ved å finne summen $\vec{a} + (- \vec{b})$ , sjå figuren.

Rekneregler for vektorar

For addisjon av vektorar og multiplikasjon av ein vektor med eit tal, gjeld reknereglar tilsvarande reglane som gjeld for addisjon og multiplikasjon av tal.

$\begin{matrix} \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \\ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b}) \\ (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \\ s \vec{a} + t \vec{a} = (s + t) \vec{a} \\ s (t \vec{a}) = (s \cdot t) \vec{a} \\ s (\vec{a} + \vec{b}) = s \vec{a} + s \vec{b} \end{matrix}$

Video om vektoraddisjon og vektordifferanse

Video: Tom Jarle Christiansen

Video om multiplikasjon av vektor med tal

Video: Tom Jarle Christiansen

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 25.01.2022

Læringsressursar

Vektorar