Skalarproduktet

Skalarproduktet mellom to vektorar gir ikkje ein ny vektor som resultat, men ein skalar (altså eit tal). Derfor kallar vi det for skalarprodukt. Eit anna namn er prikkprodukt. Vi seier at vi "prikkar" to vektorar med kvarandre.

Merk at med vinkelen mellom to vektorar meiner vi den minste vinkelen mellom dei når vektorane blir plasserte med det same utgangspunktet.

Vinkelen mellom to vektorar er altså alltid mindre enn eller lik 180 grader.

Cosinus

Når du skal rekne ut skalarproduktet mellom to vektorar, må du finne cosinus til vinkelen mellom vektorane. I matematikk 1T definerte vi cosinus til ein vilkårleg vinkel ved hjelp av einingssirkelen, sjå figuren.

Du kan alltid finne cosinus til ein vinkel ved å bruke eit digitalt verktøy. Nokre cosinusverdiar bør du likevel klare å finne ved hjelp av einingssirkelen. Gå til denne artikkelen frå 1T dersom du er usikker. Bruk einingssirkelen og finn$\cos 0°, \cos 90°$, og $$ \cos 180°$$.

For kva vinklar er cosinusverdien, og dermed òg skalarproduktet, negativ?

For kva vinklar er cosinusverdien, og dermed òg skalarproduktet, positiv?

Skalarproduktet har stor betydning i fysikkfaget. Til dømes er arbeid i fysikken definert som skalarproduktet mellom vektorane kraft og strekning.

Når to vektorar står normalt (vinkelrett) på kvarandre, er vinkelen mellom vektorane $90°$. Sidan $\cos 90°=0$, vil skalarproduktet òg bli lik 0.

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}& = & \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\cos 90°\\ & & \\ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}& =& \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·0\\ & & \\ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}& =& 0\end{array}$$

Motsett må det òg vere slik at dersom skalarproduktet er lik 0 og begge vektorane er ulike frå nullvektor, må cosinus til vinkelen mellom dei vere 0, og vinkelen må vere $90°$.

To vektorar som står normalt på kvarandre, kallar vi ortogonale vektorar. Det matematiske symbolet er$\perp$.

Vi kan då samanfatte dette slik:

Slik skalarproduktet mellom to vektorar er definert, får vi reknereglar for vektorar som til forveksling er lik reknereglane for skalare storleikar. Det kan visast at følgjande reknereglar gjeld for skalarproduktet:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}\\ \\ \overrightarrow{a}·\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\\ \\ \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\right)=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}·\overrightarrow{d}\\ \\ \left(s\overrightarrow{a}\right)·\left(t\overrightarrow{b}\right)=\left(s·t\right)\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\right)\end{array} \\ \end{gathered}$$

Dermed får vi

$$ \begin{array}{l}{\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2\\ \\ {\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2-2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2\\ \\ \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)={\overrightarrow{a}}^2-{\overrightarrow{b}}^2\end{array}$$

Vi har sett at skalarproduktet eller prikkproduktet mellom to vektorar er definert som

$$ $ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\cos \alpha $$$

Når ein vektor blir prikka med seg sjølv, får vi ein spesiell situasjon. Vinkelen $\alpha$ er då $0°.$ Som du fann ut lengre oppe, er $$ \cos 0°=1$$. Vi får derfor

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}& = & \left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{a}\right|·\cos 0° \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2·1 \\ & & \\ {\overrightarrow{a}}^2& =& {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2 \end{array}$$

Legg merke til skrivemåten $$ {\overrightarrow{a}}^2$$ for $$ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}$$.

Ut frå det vi no veit om at skalarproduktet er eit tal og ikkje ein vektor, kan vi sjå at ein vektor opphøgd i 2 ikkje er ein vektor, men ein skalar. Dette kan vi bruke til å finne lengda av ein vektor, slik:

$$ \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^2}$$

Om to vektorar $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ får du vite følgjande:

$$ \begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{a}\right| & =& 5\\ \left|\overrightarrow{b}\right| & =& 2\\ \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b }& =& 8\end{array}$$

To andre vektorar er gitt som $$ \overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$ og $$ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$$.

Vi kan finne prikkproduktet mellom $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$:

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v} & =& \left(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)·\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\\ & =& 2\overrightarrow{a}·\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{a}·\left(-\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}·\overrightarrow{b}\\ & =& 2{\overrightarrow{a}}^2-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^2\end{array}$$

No set vi inn opplysningane vi fekk om $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}$$ og $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{b}\end{array}$$ og hugsar at $$ {\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}}^2={\left|\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}\right|}^2$$. Då får vi

$$ 2{\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}}^2+\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{a}\end{array}·\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{b}\end{array}-{\begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{b}\end{array}}^2=2·5^2-8-2^2=50-8-4=38$$