Rekning med vektorar

Ein bil køyrer 5 km mot aust. Så svingar han mot nord og køyrer 4 km i denne retninga. Bilen dreier så og køyrer 8 km mot vest.

a) Illustrer dei aktuelle forflyttingane med vektorar.

Løysing

b) Teikn vektoren som viser luftlinja frå der bilen starta, til der han stoppar.

Løysing

c) Kan du finne ut kor langt det er i luftlinje?

d) Vi kallar summen av forflyttingane for resultantforflyttinga. Kan du på dette grunnlaget føreslå ein måte å summere vektorar på?

Denne oppgåva har ikkje fasit, her er det meininga at du skal utforske vektorsummar.

Teikn to vektorar som du kallar $$ \overrightarrow{u} \mathrm{og} \overrightarrow{v}$$, i GeoGebra (bruk knappen på verktøylinja, slik at du får vektor mellom to punkt).

Skriv så inn i algebrafeltet: u+v. No får du ein vektor $$ \overrightarrow{w}$$ som er teikna frå origo og er summen av dei to vektorane du sjølv har teikna. (Du får ikkje piler over bokstavane utan å lage ein tekstboks i GeoGebra, men det treng du ikkje å bruke tid på her.) På biletet ser du eit døme på korleis du kan teikne dei.

• Ta tak i vektorane og flytt dei rundt i grafikkfeltet. Kva skjer med vektorsummen?
• Ta tak i eit av punkta på vektorane og dra i det slik at vektoren endrar seg. Kva skjer no med vektorsummen?

• Prøv å lage $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$ like lange, men i motsett retning. Kva skjer med vektorsummen?

• La vektorane $$ \overrightarrow{u}$$ og $$ \overrightarrow{v}$$ stå vinkelrett på kvarandre. Kan du finne lengda av $$ \overrightarrow{w}$$ ved rekning?

Vi har gitt vektorane $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$ som på figuren til høgre.

Finn $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \mathrm{og} \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$$ ved teikning. Kva observerer du?

Løysing

Vi observerer ved hjelp av teikning at dei to vektorsummane blir identiske:

Vi har gitt tre vektorar $$ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \mathrm{og} \overrightarrow{c}$$ i eit koordinatsystem. Sjå figuren.

Teikn vektorane:

a) $$ \frac{1}{2}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$

b) $$ \frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$$

c) $$ \frac{3}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$

Løysing

Vi har eit rektangel ABCD. Teikn vektorane under, og skriv dei enklare om det er mogleg:

a) $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$

b) $$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$$

c) $$ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$$

d) $$ \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}$$

e) $$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}$$

Løysing

a) $$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

b) $$ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$$

c) $$ \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$$

d)$$ \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}$$

e) $$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$$

Vi har gitt tre vektorar som vist på figuren til høgre.

Teikn vektorane:

a) $$ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$

b) $$ \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$$

c) $$ -\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$

Løysing

Vi har gitt vektorane på biletet til høgre.

a) Uttrykk vektorane $$ \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{e} \mathrm{og} \overrightarrow{f}$$ ved hjelp av vektorane $$ \overrightarrow{a} \mathrm{og} \overrightarrow{b}$$.

b) Uttrykk vektorane $$ \overrightarrow{a} \mathrm{og} \overrightarrow{b}$$ ved hjelp av $$ \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{e} \mathrm{og} \overrightarrow{f}$$.