Modellering med ukjent funksjon

Jo større kvadrater vi klipper bort, jo høyere blir eska, men desto mindre blir eskebunnen. Kall sidekanten i kvadratene for $$ x$$, og lag en funksjon $$ V\left(x\right)$$ for volumet av eska.

Merk: Hvilke verdier kan $$ x$$ ha?

Når vi klipper bort kvadrater med sidekant lik $$ x$$, vil målene på eskebunnen være $$ 2x$$ kortere enn yttermålene på papplata. Målene på eskebunnen blir derfor som på figuren nedenfor.

Vi finner volumet ved å multiplisere arealet av eskebunnen med høyden av eska, som er $$ x$$. Vi løser oppgaven med CAS.

Merk at vi ikke kan bruke løsningen  $$ x=22,64$$  i linje 3 fordi vi ikke kan klippe bort så mye. Vi bruker dobbeltderiverttesten i linje 4 og ser at grafen til $$ V$$ vender den hule sida ned når  $$ x=7,36$$. Dermed vet vi at grafen har et toppunkt her.

Eska får altså størst volum når vi klipper bort kvadrater med sidekant 7,36 cm, og da er volumet av eska 6 564 cm³ eller 6,6 dm³.

Eska får størst volum når vi klipper bort kvadrater med sidekant 6,34 cm, og da er volumet av eska 5 196 cm³ eller 5,2 dm³.

Dette volumet er mindre enn volumet på eska i oppgave a). Det kan se ut som at det største mulige volumet øker jo mer like sidene i papplata er.

Papplata blir nå et kvadrat med sidekanter med lengde 45 cm.

Ved å gjøre de samme beregningene i CAS som før får vi at volumet av eska er størst om det klippes bort kvadrater med sidekant 7,5 cm. Da blir volumet 6 750 cm³ eller 6,75 dm³.

Merk at vi har ikke bevist at det er papplata i oppgave c) som gir størst eskevolum når omkretsen på papplata holdes konstant.

Merk at vi ikke kan bruke løsningen  $$ x=\frac{1}{2}s$$  i linje 2. (Hva er for øvrig grunnen til det?) Siden vi har at  $$ s>0$$, får vi bekreftet i linje 3 at grafen til $$ V$$ vil ha et toppunkt for  $$ x=\frac{1}{6}s$$ .

Volumet av eska blir størst dersom vi klipper bort kvadrater som er en sjettedel av hele sida på papplata, og da blir volumet $$ \frac{2}{27}{s}^3$$.

Kontroller at disse resultatene stemmer med utregningene i oppgave c).

Merk også at dette heller ikke er bevis alene på at det blir størst volum på eska dersom papplata med en gitt omkrets er kvadratisk.

I linje 1 skriver vi opp formelen for omkretsen til et rektangel der lengden er $$ y$$, og bredden har vi kalt $$ b$$. Denne formelen blir løst med hensyn på $$ b$$ slik at vi får et uttrykk for bredden, slik oppgaven krever. I linje 2 skriver vi inn volumfunksjonen $$ V$$ omtrent som tidligere i oppgaven.

Vi er nå interessert i å se hvordan volumet endrer seg når vi endrer på $$ y$$. For å finne den største verdien for volumet når vi endrer på $$ y$$, må vi derivere $$ V$$ med hensyn på $$ y$$. Da bruker vi kommandoen "Derivert()", som gjør at vi kan bestemme at vi skal derivere med hensyn på $$ y$$ i stedet for $$ x$$. Vi setter den deriverte lik 0 og løser likningen med hensyn på $$ y$$. Svaret sier at volumfunksjonen har et ekstremalpunkt for  $$ y=\frac{1}{4}O$$, som er når papplata er kvadratisk. Vi må sjekke at løsningen i linje 3 er et toppunkt. Til det bruker vi dobbeltderiverttesten. I linje 4 finner vi uttrykket for den dobbeltderiverte, som ikke varierer med $$ y$$ og alltid er negativt. Da er løsningen i linje 3 et toppunkt, og vi har vist at ut ifra ei rektangulær papplate med en gitt omkrets blir eskevolumet størst når papplata er kvadratisk.

I linje 5 lager vi en ny funksjon $$ V_2\left(x\right)$$ ut ifra resultatet i den forrige deloppgaven. Vi finner ekstremalpunktene til denne i linje 2, og vi ser at løsningen  $$ x=\frac{1}{8}O$$  ikke kan brukes, for da klippes hele papplata bort. I linje 7 viser vi med dobbeltderiverttesten at den første løsningen i linje 2 gir et toppunkt. I linje 8 får vi at det maksimale volumet $$ V_{maks}$$ eska kan få med en gitt omkrets $$ O$$, er

$$ $ V_{maks}=\frac{1}{864}{O}^3$$$

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra og velger "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at funksjonen $$ h$$ kan beskrives med uttrykket

$$ h\left(x\right)=-0,066x^3+1,15x^2-4,19x-8,95$$

Vi ser at grafen treffer godt med de observerte verdiene. Merk at vannstanden var spesielt lav denne dagen siden det ikke ble målt verdier over middelvann.

Vi må finne ut når vannstanden var høyest og lavest, og når vannstanden steg og sank raskest. Vi kopierer resultatet fra regresjonsanalysevinduet over til grafikkfeltet. Da slipper vi å skrive inn funksjonen på nytt i CAS-vinduet.

Vi får av linje 1, 2, 3 og 6 at vannstanden var lavest cirka klokka kvart over 2 på natta. Da var vannstanden 13,3 cm under middelvann. Vannstanden var høyest rett før klokka halv 10 på formiddagen, og da var den 1,1 cm under middelvann. Fra linje 3, 4, 5 og 7 har vi at grafen til $$ h$$ har et vendepunkt for  $$ x=5,83$$, og vi får at vannstanden steg raskest rett før klokka 6 på morgenen. Da steg den med 2,6 cm per time. Hvis vi holder oss til de 12 første timene av døgnet, sank vannstanden mest klokka 12, med 5,0 cm per time. Dersom vi går utenfor de 12 timene, vet vi at tredjegradsfunksjonen blir brattere og brattere, og det er derfor ikke realistisk å gå noe særlig utenfor dette tidsrommet.

Kommentar: Merk at siden vi har regnet ut to verdier for den dobbeltderiverte i linje 3 på hver sin side av nullpunktet til den dobbeltderiverte, har vi det vi trenger for å avgjøre om nullpunktet er $$ x$$-koordinaten til et vendepunkt.

Vi ser at grafen er lavere enn bunnpunktet dersom vi ser på tidsrommet etter klokka 13, men vi vet egentlig ikke hvor lavt det går eller hvor langt ut i tid modellen gjelder. Vi kan i alle fall si at mellom midnatt og klokka 12 var den laveste vannstanden minus 13,4 cm under middels vannstand, og det var klokka 02.15 på natta.

Vi må se hvor grafen har verdier over $$ -10$$. Vi kan se av grafen at fra litt før klokka 05.00 til litt etter klokka 12.00 kan båten gå til kai ved Tregde. Det er også noen minutter rett etter midnatt det vil være teoretisk mulig å legge til, men kanskje ikke i praksis.

Vi sjekker hvilken verdi vi får 24 timer etter midnatt.

1 døgn (24 timer) etter midnatt viser modellen et avvik på -360 cm fra middel vannstand. Det er urealistisk, så modellen er ikke gyldig fram i tid.

Vi ønsker å finne den tredjegradsfunksjonen som passer best til målingene. Hvordan ser den generelle tredjegradsfunksjonen ut?

Den generelle tredjegradsfunksjonen kan skrives som

$$ h\left(x\right)=a·x^3+b·x^2+c·x+d$$

Den egendefinerte funksjonen må inneholde de fire ubestemte konstantene i tillegg til $$ x$$. Funksjonen kan se slik ut:

def h(x,a,b,c,d):
return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d

Bruk disse tilnærmingene for å gjøre beregninger av den deriverte og den dobbeltderiverte:

$$ \begin{array}{rcl}{h}^{\text{'}}\left(x\right) & \approx & \frac{h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\\ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) & \approx & \frac{h^{\text{'}}\left(x+∆x\right)-h^{\text{'}}\left(x\right)}{∆x}\end{array}$$

I tilnærmingene kan du sette $$ ∆x=0,000 1$$.

Forslag til kode:

1        # tilnærming til den deriverte
2def dh(x,a,b,c,d):
3  return (h(x+0.0001,a,b,c,d) - h(x,a,b,c,d))/0.0001
4  
5        # tilnærming til den dobbeltderiverte
6def ddh(x,a,b,c,d):
7  return (dh(x+0.0001,a,b,c,d) - dh(x,a,b,c,d))/0.0001

Legg merke til at vi i tillegg til x må ha med de fire konstantene a, b, c og d som parametre i funksjonene siden vi ikke vet hva de er før selve regresjonen er utført.

Se også koden i oppgave 3.1.40 b) på siden Analyse av funksjoner – begreper.

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def h(x,a,b,c,d):
8  return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
9  
10        # tilnærming til den deriverte
11def dh(x,a,b,c,d):
12  return (h(x+0.0001,a,b,c,d) - h(x,a,b,c,d))/0.0001
13  
14        # tilnærming til den dobbeltderiverte
15def ddh(x,a,b,c,d):
16  return (dh(x+0.0001,a,b,c,d) - dh(x,a,b,c,d))/0.0001
17  
18        # legger inn måledataene i lister
19x_verdier = [0,2,4,6,8,10,12]
20y_verdier = [-9,-13,-12,-6,-3,-1,-7]
21
22        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
23konstanter,kovarians = curve_fit(h,x_verdier,y_verdier)
24
25        # henter ut konstantene fra lista konstanter
26a, b, c, d = konstanter
27
28        # lager utskrift av funksjonen
29print(f"Funksjonen blir h(x) = {a:.3f}x^3 {b:+.2f}x^2 {c:+.2f}x {d:+.2f}.")
30
31        # finner og plotter ekstremalpunktene
32x_verdi = 0
33trinn = 0.01
34while x_verdi <= 12:
35  if dh(x_verdi,a,b,c,d)*dh(x_verdi+trinn,a,b,c,d) < 0:
36    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
37    if ddh(nullpunkt,a,b,c,d) > 0:     # dobbeltderiverttesten
38      punkttype = "Bunnpunkt"
39    else:
40      punkttype = "Toppunkt"
41    print(f"Funksjonen har et {punkttype.lower()} i ({nullpunkt:.2f}, {h(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
42    plt.scatter(nullpunkt, h(nullpunkt,a,b,c,d), label = punkttype)
43  x_verdi = x_verdi + trinn
44  
45        # finner vendepunktene, ev. om de er terrassepunkter
46x_verdi = 0
47trinn = 0.001
48while x_verdi <= 12:
49  if ddh(x_verdi,a,b,c,d)*ddh(x_verdi+trinn,a,b,c,d) < 0:
50    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
51    if abs(dh(nullpunkt,a,b,c,d)) < trinn:
52      print(f"Funksjonen har terrassepunkt og vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {h(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
53    else:
54      print(f"Funksjonen har vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {h(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
55    plt.scatter(nullpunkt, h(nullpunkt,a,b,c,d), label = "Vendepunkt")        # tegner vendepunktet
56    print(f"Da endres vannstanden med {dh(nullpunkt,a,b,c,d):.2f} cm/time.")
57  x_verdi = x_verdi + trinn
58  
59        # finner når funksjonen er lik -10
60x_verdi = 0
61trinn = 0.0001
62while x_verdi <= 12:
63  if (h(x_verdi+trinn,a,b,c,d) + 10)*(h(x_verdi,a,b,c,d) + 10) < 0:
64    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
65    print(f"Vannstanden er på -10 når x = {nullpunkt:.2f}.")
66    plt.scatter(nullpunkt, h(nullpunkt,a,b,c,d), c=["black"])        # tegner punktet
67  x_verdi = x_verdi + trinn
68  
69        # plotter dataene
70plt.plot(x_verdier,y_verdier,'.', label = "Målinger")
71
72        # plotter modellen
73x_array = np.linspace(min(x_verdier),max(x_verdier),300)
74y_array = h(x_array,a,b,c,d)
75plt.plot(x_array,y_array,"brown", label = "Modell")
76plt.grid(True)
77plt.legend(bbox_to_anchor=(0.4,1))
78plt.xlabel("Timer etter midnatt") # tittel på x-aksen
79plt.ylabel("Avvik i cm fra middel vannstand")
80plt.show()

Vi får følgende utskrift:

"Funksjonen blir h(x) = -0.066x^3 +1.15x^2 -4.19x -8.95.

Funksjonen har bunnpunkt i (2.24, -13.28).

Funksjonen har toppunkt i (9.42, -1.08).

Funksjonen har vendepunkt i (5.83, -7.18).

Da endres vannstanden med 2.55 cm/time.

Vannstanden er på -10 når x = 0.27.

Vannstanden er på -10 når x = 4.69."

Får du en graf lik den i oppgave b)?

Kommentarer til koden:

• I linje 29 har vi lagt til en + i formateringskoden til utskriften. Plusstegnet tvinger Python til å ta med fortegnet til variabelen enten det er pluss eller minus. På denne måten blir det alltid riktig tegn mellom leddene i utskriften av funksjonsuttrykket.

• I linje 41 har vi brukt metoden lower() for å få små bokstaver på punkttypen i setningen som skal skrives ut. (Vi har satt stor forbokstav på verdiene til punkttype fordi vi vil ha det i forklaringen i grafbildet.)

Vi legger punktene inn i regnearkdelen i GeoGebra, velger "Regresjonsanalyse" og observerer punktene i regresjonsanalysevinduet. Punktene ser ut omtrent som på figuren nedenfor. Da kan en tredjegradsfunksjon passe.

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finner at tredjegradsfunksjonen

$$ T\left(x\right)=-0,008x^3+0,261x^2-1,5x+18,3$$

passer godt som modell for temperaturutviklingen.

Vi observerer at modellen passer best fram til klokka 15. Så synker den målte temperaturen litt raskere enn det modellen legger opp til.

Modellen vi fant, beskriver temperaturen de første 24 timene etter midnatt på en god måte. Utover 24 timer er modellen ubrukelig. Etter 24 timer vil temperaturen ifølge modellen stadig gå nedover.

Vi må lete etter eventuelle vendepunkter på grafen til $$ T$$. I tillegg må vi sjekke endepunktene på grafen.

I linje 3 og 4 får vi bekreftet at løsningen  $$ x=10,4$$  gir et vendepunkt der den deriverte har et toppunkt. Det betyr at etter modellen steg temperaturen mest rett før klokka halv elleve på formiddagen den dagen, og da steg den med 1,2°C per time.

Siden det ikke er flere vendepunkter på grafen til $$ T$$, må temperaturen ha sunket raskest enten 0 eller 24 timer etter midnatt. Linje 5 gir oss at temperaturen sank raskest 24 timer etter midnatt, og da sank temperaturen med minus 3,4°C per time.

Vi tar utgangspunkt i programmet i oppgave FM-31.

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lager funksjonen som beskriver modellen
7def T(x,a,b,c,d):
8  return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
9  
10        # tilnærming til den deriverte
11def dT(x,a,b,c,d):
12  return (T(x+0.0001,a,b,c,d) - T(x,a,b,c,d))/0.0001
13  
14        # tilnærming til den dobbeltderiverte
15def ddT(x,a,b,c,d):
16  return (dT(x+0.0001,a,b,c,d) - dT(x,a,b,c,d))/0.0001
17  
18        # legger inn måledataene i lister
19x_verdier = [0,1,4,7,9,10,12,13,15,17,20,22,24]
20y_verdier = [19,17,15,17,19,21,25,26,27,26,24,22,18]
21
22        # bruker metoden curve_fit og legger resultatene i to lister
23konstanter,kovarians = curve_fit(T,x_verdier,y_verdier)
24
25        # henter ut konstantene fra lista konstanter
26a, b, c, d = konstanter
27
28        # lager utskrift av funksjonen
29print(f"Funksjonen blir T(x) = {a:.3f}x^3 {b:+.2f}x^2 {c:+.2f}x {d:+.2f}.")
30
31        # finner vendepunktene, ev. om de er terrassepunkter
32x_verdi = 0
33trinn = 0.001
34while x_verdi <= 12:
35  if ddT(x_verdi,a,b,c,d)*ddT(x_verdi+trinn,a,b,c,d) < 0:
36    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
37    if abs(dT(nullpunkt,a,b,c,d)) < trinn:
38      print(f"Funksjonen har terrassepunkt og vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {T(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
39    else:
40      print(f"Funksjonen har vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {T(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
41    plt.scatter(nullpunkt, T(nullpunkt,a,b,c,d), label = "Vendepunkt")        # tegner vendepunktet
42    print(f"Da endret temperaturen seg med {dT(nullpunkt,a,b,c,d):.2f} grader/time.")
43  x_verdi = x_verdi + trinn
44  
45        # finner temperaturendringen i endepunktene
46print(f"Kl. 00.00 endret temperaturen seg med {dT(0,a,b,c,d):.2f} grader/time.")
47print(f"Kl. 24.00 endret temperaturen seg med {dT(24,a,b,c,d):.2f} grader/time.")
48
49        # plotter dataene
50plt.plot(x_verdier,y_verdier,'.', label = "Målinger")
51
52        # plotter modellen
53x_array = np.linspace(min(x_verdier),max(x_verdier),300)
54y_array = T(x_array,a,b,c,d)
55plt.plot(x_array,y_array,"brown", label = "Modell")
56plt.grid(True)
57plt.legend(bbox_to_anchor=(0.4,1))
58plt.xlabel("Timer etter midnatt") # tittel på x-aksen
59plt.ylabel("Temperatur i °C")
60plt.show()

Programmet gir følgende utskrift:

"Funksjonen blir T(x) = -0.008x^3 +0.26x^2 -1.50x +18.31.

Funksjonen har vendepunkt i (10.39, 21.48).

Da endret temperaturen seg med 1.21 grader/time.

Kl. 00.00 endret temperaturen seg med -1.50 grader/time.

Kl. 24.00 endret temperaturen seg med -3.43 grader/time."

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Eksponentiell 2" (vi kan også velge "Eksponentiell"). Så kopierer vi grafen og punktene til grafikkfeltet.

Den eksponentielle funksjonen som passer best med punktene er

$$ T\left(x\right)=3,51 e^{0,079x}$$

Vi ser at grafen passer godt til punktene.

Modellen vil gi en høyere og høyere temperatur i kjøleskapet. I virkeligheten vil temperaturen i kjøleskapet nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikke gyldig noe særlig lenger enn cirka 1 døgn etter strømbruddet.

I en logistisk modell går funksjonen mot en fast verdi i stedet for å vokse over alle grenser. Det passer bedre med at temperaturen i kjøleskapet vil nærme seg mer og mer romtemperaturen ettersom tida går.

Vi skriver tallene inn nedenfor de tallene vi alt har i regnearkdelen i GeoGebra, markerer alle tallene og velger verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Logistisk". Så kopierer vi grafen og punktene til grafikkfeltet.

Den logistiske funksjonen som passer best med alle punktene, er

$$ T_L\left(x\right)=\frac{24,7}{1+9,61 e^{-0,15x}}$$

Vi ser at grafen passer relativt godt med punktene.

Brøken $$ $ \frac{24,7}{1+9,61 e^{-0,15x}}$$$ vil nærme seg 24,7 når $$ x$$ blir stor. I virkeligheten vil temperaturen i kjøleskapet nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår kan virke rimelig dersom romtemperaturen ligger jevnt på 24,7°C.

Vi må lete etter eventuelle vendepunkter på grafen til $$ T_L$$.

I linje 3 og 4 kontrollerer vi at løsningen i linje 2 er $$ x$$-koordinaten til et vendepunkt. Vi får samtidig at grafen til $$ T_L$$ går fra å vende den hule sida opp til å vende den hule sida ned ved vendepunktet slik at vi vet at den deriverte har et toppunkt her. Vi får at temperaturen steg raskest etter omtrent 15 timer, og da steg den med 9,5°C per time.

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem og velger verktøyet "Regresjonsanalyse". Det ser ut som kurven gjennom punktene stiger mer og mer. Her vil det være naturlig å prøve med eksponentiell regresjon. Vi velger modellen "Eksponentiell 2" og ser at den passer ganske godt med punktene.

Den eksponentielle funksjonen som passer best med punktene er

$$ f\left(x\right)=11 e^{0,32x}$$

Det vil være naturlig at veksten til solsikken vil avta og etter hvert stoppe helt opp. Da kan vi ikke bruke det samme funksjonsuttrykket, siden eksponentialfunksjonen vil vokse over alle grenser når $$ x$$ blir stor.

Vi skriver de nye tallene inn under tallene fra oppgave a) i regnearkdelen i GeoGebra, og så velger vi "Regresjonsanalyse". Siden veksten til solsikken stopper opp, prøver vi med logistisk modell.

Vi ser at en logistisk modell passer godt med punktene. Den logistiske modellen som passer best med punktene, er

$$ g\left(x\right)=\frac{158,9}{1+37,53 e^{-0,62x}}$$

I regresjonsanalyseverktøyet velger vi "Kopier til grafikkfeltet".

Her betyr tallet i telleren den maksimale høyden solsikken får etter modellen, som er 159 cm.

Denne modellen treffer ikke like godt som modellen i a) de første 8 ukene. Etter uke 8, når veksten flater ut, passer modellen i c) bra de neste 4 ukene, men det er usikkert om solsikken blir så høy som 159 cm. Totalt sett kan vi vel likevel si at den logistiske modellen passer best.

Solsikken vil etter hvert visne, så modellen vil ikke være gyldig veldig langt fram i tid.

Vi må lete etter eventuelle vendepunkter på grafen til $$ g$$.

I linje 3 og 4 kontrollerer vi at løsningen i linje 2 er $$ x$$-koordinaten til et vendepunkt. Vi får samtidig at grafen til $$ g$$ går fra å vende den hule sida opp til å vende den hule sida ned ved vendepunktet, slik at vi vet at den deriverte har et toppunkt her. Vi får at solsikken vokste raskest etter omtrent 6 uker, og da vokste den med 25 cm per uke.

Folkehelseinstituttet. (2024, 4. januar). Ukerapporter om covid-19, influensa og andre luftveisinfeksjoner. Hentet 9. januar 2024 fra https://www.fhi.no/publ/statusrapporter/luftveisinfeksjoner/#alle-ukerapporter-2020-2023