Logistisk vekst
FM-20
a) Gjennomfør den logistiske regresjonen i eksempelet om ørretbestand på teorisiden "Logistisk vekst".
b) Når vokser ørretbestanden mest, og hvor stor er veksten da?
Løsning
Vi kopierer funksjonen fra regresjonsanalyseverktøyet til grafikkfeltet. Så bruker vi CAS til å analysere funksjonen. Her må vi finne det punktet der grafen er brattest. Det vil være i vendepunktet til grafen til .
I linje 3 og 4 kontrollerer vi at nullpunktet til den dobbeltderiverte faktisk er et vendepunkt ved å sjekke om fortegnet skifter ved nullpunktet, noe det gjør. Ørretbestanden vokste raskest nesten 5 år etter at kalkingen startet, og da vokste bestanden med 2 740 ørreter per år.
I oppgave FM-23 viser vi at vi alltid har ett vendepunkt for en logistisk funksjon, og at funksjonen er brattest der, så vi trenger ikke å sjekke dette flere ganger.
FM-21
I 1970 dukket det for første gang opp løvetann på Fureøya. I noen år framover ble antallet løvetannplanter kartlagt. Resultatet vises i tabellen nedenfor.
År | 1970 | 1971 | 1971 | 1973 | 1974 | 1975 | 1976 | 1977 | 1978 | 1979 | 1980 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Antall løvetann-planter | 3 | 15 | 80 | 201 | 300 | 501 | 731 | 915 | 1 131 | 1 350 | 1 490 |
a) Finn den logistiske modellen
Løsning
Når
Bildet viser at en logistisk modell passer bra med tallene. Den modellen som passer best, er
b) Hvor mange løvetannplanter blir det på lang sikt etter denne modellen?
Løsning
Når
Antall løvetannplanter på lang sikt, eller det vi kaller bæreevnen, vil derfor være 1 675 etter modellen.
c) Når vokste antallet løvetannplanter raskest, og hvor raskt vokste det da?
Løsning
Vi kopierer funksjonen fra regresjonsanalyseverktøyet til grafikkfeltet. Så bruker vi CAS til å analysere funksjonen.
Etter modellen økte antallet løvetannplanter mest i det sjette året etter 1970, det vil si i 1976. Da økte antallet løvetannplanter med 244 planter per år.
d) Bruk regresjon i Python til å lage en modell som passer best mulig med tallene i tabellen. Tegn funksjonen.
Løsning
Forslag til kode:
Koden gir følgende utskrift:
"Funksjonen blir n(x) = 1675/(1+46.30e^(-0.58x))."
Kommentar til koden: I linje 12 har vi lagt til p0 = [max(y_verdier),1,1]
i kommandoen curve_fit
. Hvis vi ikke gjør det, feiler regresjonen. Tallene max(y_verdier)
, 1
og 1
er startverdier for de tre variablene B
, a
og k
, som programmet bruker i de numeriske beregningene for å komme fram til de endelige verdiene for de tre variablene. Jo riktigere startverdiene er, jo større er sjansen for at de numeriske beregningene blir vellykket.
max(y_verdier)
er et godt valg for startverdien til a
og k
setter vi bare startverdien lik 1, som er den automatiske startverdien for parametre ved bruk av curve_fit
.
FM-22
Antall hjort har økt kraftig i et område. Tabellen viser antall hjort for enkelte år i perioden 1973–2003.
Årstall | 1973 | 1976 | 1979 | 1983 | 1988 | 1993 | 1998 | 2003 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Antall hjort, | 500 | 840 | 1 350 | 2 250 | 3 500 | 4 300 | 4 700 | 4 900 |
a) Finn en logistisk funksjon
Løsning
Vi skriver inn tallene i tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra og regner ut verdiene for
Vi ser at grafen som kommer opp, passer godt til punktene. Den logistiske funksjonen som passer best med tallene i tabellen, er
b) Tegn grafen til den logistiske funksjonen du fant i a), og punktene den er basert på, i det samme koordinatsystemet.
Løsning
Vi kopierer grafen (inkludert punktene) fra regresjonsverktøyet over i grafikkfeltet.
c) Hva er bæreevnen til hjortebestanden i dette området?
Løsning
Her må vi basere oss på modellen. Når
Bæreevnen er 4 988 hjort etter modellen, noe vi runder av til 5 000.
d) Når vokste hjortebestanden raskest, og hvor raskt vokste den da?
Løsning
Vi må finne vendepunktet til funksjonen, og vi bruker CAS.
Hjortebestanden vokste mest omtrent 11 år etter 1973, det vil si i 1984, og da vokste bestanden med 253 dyr per år.
e) Hvor mange hjort var det da hjortebestanden vokste raskest i forhold til bæreevnen?
Løsning
Vi får at hjortebestanden var på halvparten av bæreevnen da den vokste raskest.
Vil det være slik for alle logistiske modeller, tror du?
FM-23
Vi skal se litt mer på den generelle logistiske funksjonen
Ved å analysere den kan vi få et godt bilde på hvordan en logistisk modell fungerer. Vi forutsetter at konstantene
a) Bruk CAS og finn ut for hvilken
Løsning
Vi får at grafen til
For å sjekke at nullpunktet til den dobbeltderiverte faktisk er et vendepunkt, kan vi ikke løse ulikheten
b) Hvis
Løsning
Siden
c) Er det mulig å løse oppgave a) og b) ved regning for hånd? Gjør et forsøk!
Løsning
Vi starter med å derivere funksjonen to ganger.
Kommentar: I tredje linje i utregningen av
Når funksjonen er mål på en bestand, er konstantene
Så må vi finne nullpunktene til den dobbeltderiverte.
I løsningen har vi enkelt kvittet oss med nevneren og uttrykket foran parentesen i telleren siden begge disse ikke kan være null. Vi må nå sjekke at løsningen faktisk er
Kommentar til løsningen: Siden de tre konstantene
Vi får altså at grafen vender sin hule side opp på venstresiden av nullpunktet og motsatt på høyre side, som vi forventet. Da vet vi at løsningen er
Til slutt må vi regne ut
FM-24
Utforsk den generelle logistiske funksjonen
med GeoGebra ved å lage glidere for konstantene