Pris og etterspørsel

Vi må regne ut $$ e\left(40\right)$$.

Bedriften får solgt 540 godteriposer dersom prisen er 40 kroner per pose.

Inntekten er alltid lik antall solgte enheter, eller etterspørselen, multiplisert med prisen.

Inntektsfunksjonen er $$ I\left(x\right)=-24p^2+1 500p$$.

Vi må regne ut $$ I\left(40\right)$$.

Bedriften får en inntekt på 21 600 kroner dersom de setter prisen til 40 kroner per pose.

Vi må finne den største verdien til inntektsfunksjonen, som har et toppunkt siden den er en andregradsfunksjon med negativ koeffisient foran andregradsleddet. Vi må finne når den deriverte av inntektsfunksjonen er lik null.

Prisen som gir størst inntekt per uke, er 31,25 kroner.

Inntekten ved denne prisen er 23 437,50 kroner.

Vi kan ikke si hvilken pris bedriften skal ta for å få størst mulig overskudd før vi vet noe om hvordan kostnadene varierer med antall produserte godteriposer.

Vi fortsetter med CAS, skriver inn kostnadsfunksjonen og lager en ny kostnadsfunksjon ved å bytte ut $$ x$$ med $$ e\left(p\right)$$.

Kostnadsfunksjonen blir

$$ K\left(p\right)=34,56p^2-3 960p+113 500$$

Vi lager oss overskuddsfunksjonen $$ O\left(p\right)$$ med kommandoen O(p):=I-K og finner når den deriverte er 0. Andregradsfunksjonen vet vi har et toppunkt.

Det største overskuddet bedriften kan få per uke på salget av godteriposer, er 13 769,50 kroner, og da er prisen 46,62 kroner per pose.

Vi må regne ut $$ e\left(46,62\right)$$.

Siden sammenhengen mellom pris og antall enheter er kjent, kan vi først finne et uttrykk for antall enheter $$ x$$ som funksjon av prisen per enhet $$ p$$. Så finner vi et uttrykk for inntekten som pris per enhet multiplisert med antall enheter. Til slutt deriverer vi inntektsfunksjonen og får grenseinntekten.

$$ \begin{array}{rcl}x & =& 6 000-4p\\ 4p & =& 6 000-x\\ p & =& 1 500-0,25x\end{array}$$

$$ I\left(x\right)=p·x=\left(1 500-0,25x\right)x=1 500x-0,25x^2$$

Grenseinntekten blir

$$ I^{\text{'}}\left(x\right)=1 500-0,25·2x=1 500-0,5x$$

Siden koeffisienten foran andregradsleddet i $$ K\left(x\right)$$ er positiv og foran andregradsleddet i $$ I\left(x\right)$$ er negativ, vil overskuddsfunksjonen ha negativ koeffisient foran sitt andregradsledd og derfor ha et toppunkt. Da kan vi finne den produksjonen som gir størst overskudd ved å sette grensekostnaden lik grenseinntekten.

Bedriften må produsere og selge 2 741 enheter for at overskuddet skal bli størst mulig. Da skal prisen være 814,75 kroner.

Vi har fra oppgave a) at $$ x=6 000-4p$$. Vi kan derfor finne inntekts- og kostnadsfunksjonen som funksjoner av prisen $$ p$$ i stedet for antall varer $$ x$$ ved å regne ut $$ I\left(6 000-4p\right)$$ og $$ K\left(6 000-4p\right)$$. Trekker vi disse fra hverandre, får vi overskuddsfunksjonen $$ O\left(p\right)$$. Nullpunktene til denne er de prisene som gir at bedriften går akkurat i balanse.

Den laveste prisen bedriften kan sette for varen og likevel gå i balanse, er 230 kroner.

Vi må regne ut etterspørselen når prisen er 230, $$ E\left(230\right)$$.

Bedriften skal produsere 5 080 enheter når prisen er 230 kroner

Vi skriver verdiene fra tabellen inn i regnearket i GeoGebra og velger regresjonsanalyse med polynomgrad 2 som regresjonsmodell.

Vi får funksjonen $$ K\left(x\right)=2,18x^2-96,8x+1586$$, som passer svært godt til tallene.

Vi kopierer regresjonsmodellen til algebrafeltet og døper den om til $$ K$$. Så skriver vi inn inntektsfunksjonen og definerer overskuddsfunksjonen.

I linje 3 finner vi at prisen må være 230 kroner per enhet for at overskuddet per dag skal være størst når det skal produseres og selges 75 enheter. Vi vet at dette vil være et toppunkt siden koeffisienten foran andregradsleddet i funksjonen $$ O$$ er negativt. I linje 4 lager vi en ny overskuddsfunksjon der $$ p=230$$, og i linje 5 finner vi at det største overskuddet per dag er 10 669 kroner.

Vi lager oss en ny overskuddsfunksjon $$ O_3\left(p\right)$$ i linje 6 ved å regne ut $$ O\left(200-1,2p\right)$$, altså erstatte $$ x$$ med uttrykket for etterspørselen.

I linje 7 finner vi at en pris på 130,22 kroner gir det største overskuddet per dag. Vi vet at dette vil være et toppunkt siden koeffisienten foran andregradsleddet i funksjonen $$ O_3\left(p\right)$$ er negativt. I linje 8 bruker vi uttrykket for etterspørselen til å regne ut at bedriften med denne prisen kan få solgt 44 enheter av varen per dag, og må legge dagsproduksjonen på dette antallet.

$$ I\left(p\right)=E\left(p\right)·p=\left(341-p^2\right)p=341p-p^3$$

Vi løser oppgaven med CAS.

Vi sjekker i linje 4 med den dobbeltderiverte av inntektsfunksjonen at løsningen er et toppunkt. Den prisen som gir størst inntekt, er 10,66 kroner.

Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer tallene og velger regresjonsanalyse. Bildet viser at en lineær funksjon passer veldig godt med tallene.

Vi kopierer resultatet til algebrafeltet og skifter navn på funksjonen til $$ K$$. Kostnadsfunksjonen blir

$$ K\left(x\right)=5,37x+525,2$$

Siden etterspørselen $$ E\left(p\right)$$ er det samme som det antallet varer $$ x$$ som blir solgt, kan vi finne kostnadsfunksjonen som funksjon av $$ p$$ ved å regne ut $$ K\left(E\left(p\right)\right)=K\left(341-p^2\right)$$ og ut ifra det komme fram til en funksjon for overskuddet.

Resultatet stemmer med det vi skulle vise.

Vi finner toppunktet på overskuddsfunksjonen med CAS.

1. Prisen som gir maksimalt overskudd, er 12,60 kroner (linje 7 og 8).

2. Da er overskuddet på omlag 792 kroner ...

3. ... og bedriften må produsere 182 enheter.