Eksponentialfunksjonen som modell. Regresjon
FM-10
En bil ble kjøpt ny i 2012 for 320 000 kroner. Den ble solgt videre i 2017 for 190 000 kroner. I 2021 ble den igjen solgt, denne gangen for 120 000 kroner.
a) Finn den eksponentialfunksjonen som passer best til å modellere hvordan prisen på bilen synker for hvert år. La
Løsning
Vi skriver tallene inn i regnearkdelen i GeoGebra, markerer dem, velger verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Eksponentiell".
Den eksponentielle funksjonen som passer best til punktene, er
b) Når sank bilen mest i verdi per år etter modellen?
Løsning
Vi vet at en enkel eksponentialfunksjon ikke har noen vendepunkter. Derfor vil veksten være størst og minst i eventuelle endepunkter.
Vi kopierer funksjonen fra regresjonsanalysevinduet og til grafikkfeltet og åpner CAS-vinduet.
Linje 2 gir at grafen til
Bilen sank mest i verdi da den var helt ny, og da sank verdien med 35 000 kroner per år.
c) Hvor mye sank bilen i verdi det første året? Hvorfor blir det ikke det samme svaret som i den forrige deloppgaven?
Løsning
Verdiendringen på bilen det første året er lik
Etter modellen (funksjonen) sank bilen i verdi med 33 223 kroner. Dette er litt mindre enn svaret i den forrige deloppgaven. Årsaken til det er at svaret i den forrige deloppgaven sier hvor mye bilen ville ha sunket i verdi hvis den skulle synke like mye hele det første året som i starten, da bilen var ny. Verdien synker gradvis mindre og mindre hele tida slik at verditapet det første året ikke blir så stort som svaret i den forrige oppgaven skulle tilsi.
Husk at svaret i den forrige oppgaven egentlig er den momentane vekstfarten til funksjonen for
d) Når ble verdien på bilen halvert i forhold til nybilprisen?
Løsning
Dette kan vi finne ut ved å løse likningen
Verdien av bilen var halvert etter i overkant av 6 år.
e) Finn det årlige prosentvise verditapet.
Løsning
Funksjonsuttrykket til eksponentialfunksjonen
Alternativt kan vi løse likningen
f) Gjennomfør regresjonsanalysen i oppgave a) på nytt, men velg modellen "Eksponentiell 2". Kall funksjonen
Løsning
Ved å gjøre tilsvarende som i oppgave a) får vi at
g) Er dette den samme funksjonen som funksjonen
Løsning
Tallet foran potensen er likt for de to modellene. Vi kan prøve å omforme potensen i
Dette er det samme uttrykket som i
h) Løs oppgave a)–e) med Python. Lag utskrifter med svarene på oppgavene.
Løsning
Forslag til kode:
Vi får følgende utskrift:
a) Funksjonen blir V(x) = 320641·0.898^x.
b) Bilen sank mest i verdi i starten av 2012, og da sank den med 34396 kroner per år.
c) Bilens verdi endret seg med -32615 kroner fra 2012 til 2013.
d) Bilen er halvert i verdi 6.5 år etter 2012.
e) Den årlige prosentvise nedgangen er på 10.2 %.
FM-11
Tabellen viser omtrentlig verdien på 1 bitcoin i norske kroner (NOK) noen dager i april 2021. Tallene er levert av Morningstar for Currency og Coinbase for Cryptocurrency.
Dato | Verdi i NOK |
---|---|
7. april | 474 000 |
9. april | 493 000 |
12. april | 508 000 |
13. april | 538 000 |
a) Finn den eksponentialfunksjonen
Løsning
Vi skriver tallene fra tabellen inn i regnearket. 7. april betyr da at
Den eksponentielle funksjonen som passer best til punktene er
Vi antar at modellen var gyldig fra 1. april.
b) Dersom du kjøpte 1 bitcoin 1. april, hvor mye tjente du hvis du solgte den 30. april, og prisen fulgte modellen i a)?
Løsningene for resten av oppgave 3.2.2 finner du nederst i oppgaven. Prøv å løse alle delspørsmålene før du ser på løsningen.
Tips til oppgave b)
Vi må regne ut forskjellen i verdi mellom 30. april og 1. april.
c) Hvor mye steg verdien på 1 bitcoin per dag 7. april etter modellen?
Tips til oppgave c)
Dette er det samme som den deriverte når
d) Hva var verdien av 1 bitcoin ved årets slutt etter modellen?
Tips til oppgave d)
Regn ut hvor mange dager det er igjen av året etter 1. april.
e) Hvor mye stiger 1 bitcoin i verdi per dag i gjennomsnitt fra 1. april til 31. desember? Sammenlikn svaret med svaret i oppgave c) og kommenter.
f) Hvor stor er renta per dag etter modellen?
Tips til oppgave f)
Et viktig stikkord her er vekstfaktor.
g) Hva blir månedsrenta etter modellen?
h) Hva blir den årlige renta på "innskudd i bitcoinbanken" etter modellen?
i) Finn dagens verdi av bitcoin. Hvordan passer den med modellen?
Løsning
b) Fra linje 1 får vi at vi etter modellen skulle man tjene 300 405 kroner på å kjøpe en bitcoin 1. april og selge den 30. april.
c) Fra linje 2 får vi at etter modellen steg verdien på 1 bitcoin med 8 748 kroner 7. april.
d) Fra linje 3 får vi at fra og med 1. april til og med 31. desember er det 275 dager. Fra linje 4 får vi at verdien av en bitcoin 31. desember er omtrent 67 millioner kroner.
e) Fra linje 5 får vi at i gjennomsnitt steg verdien på en bitcoin med 242 938 kroner per dag. Dette er veldig mye mer enn hvor mye verdien steg per dag den 7. april (oppgave c)). Årsaken til det er at veksten i kroner blir større og større utover året siden den er eksponentiell.
f) Vekstfaktoren i funksjonen er 1,019. Vekstfaktoren er fra dag til dag. Dette betyr at den prosentvise veksten per dag er på 1,9 prosent.
g) I linje 6 regner vi ut den totale vekstfaktoren for 30 dager i april. Fra linje 7 får vi så at dette tilsvarer ei månedsrente på 76 prosent.
h) Fra linje 8 og 9 får vi tilsvarende at den årlige renta blir på ufattelige 96 189 prosent!
i) Kommentar: De fire tallene som var utgangspunkt for modellen, ble valgt ut ifra en kort periode i april 2021 da veksten var høy. 25. april samme år var verdien på en bitcoin nede i 407 504 kroner ...
j) Løs oppgave a), b) og c) med Python. Lag utskrifter med svarene på oppgavene.
Løsning
Forslag til kode:
Vi får følgende utskrift:
a) Funksjonen blir B(x) = 415256·1.019^x.
b) Du tjente 303623 kroner på denne handelen.
c) Verdien på 1 bitcoin endret seg med 8826.61 kroner per dag 7. april.