Hopp til innhold
Fagartikkel

Brøkregelen for derivasjon

Mange funksjoner består av en brøk. Vi har ett uttrykk i telleren og et annet i nevneren. Når vi deriverer brøkfunksjoner, bruker vi kvotientregelen.

Akkurat som for produktfunksjoner har vi en egen regel for å derivere brøkfunksjoner:

fx=u(x)v(x)f'x=u'(x)·v(x)-u(x)·v'(x)(v(x))2f=uvf'=u'·v-u·v'v2

f, u og v er funksjoner av x og skal deriveres med hensyn på x. I den andre linja ovenfor har vi brukt en litt forenklet skrivemåte.

Den deriverte til en brøk blir en ny brøk der nevneren er kvadratet av den opprinnelige nevneren. Telleren ligner på uttrykket til den deriverte av et produkt, men forskjellen er at det står minustegn mellom leddene. Det er derfor viktig med rett rekkefølge på leddene i telleren. Begynn med å derivere telleren.

Eksempel 1

fx = x3+2x2

For å ikke blande ux og vx kan det være lurt å skrive dem opp for seg selv først.

ux=x3+2vx=x2u'x=3x2v'x=2x

fx = x3+2x2f'x=u'x·vx-ux·v'xvx2f'x=3x2u'x·x2vx-x3+2ux·2xv'xx22vx2f'x=3x4-2x4-4xx4f'x=x4-4xx4=xx3-4x4=x3-4x3

Eksempel 2

fx=x+1x+2

ux=x+1vx=x+2u'x=1v'x=1

f'x=1·x+2-x+1·1x+22f'x = 1x+22

Bevis for kvotientregelen

Husk at fx=uxvx kan skrives som fx=ux·1vx

og som ux·1vx=ux·vx-1.

Vi bruker produktregelen

fx=u(x)·vxf'x=u'(x)·vx+u(x)·v'x

når vi vil bevise kvotientregelen:

f'x=u'xu'x·vx-1vx+uxux·vx-1'v'xf'x=u'x·1vx+ux·-1·vx-1-1-2·v'xf'x=u'xvx-ux·vx-2·v'xf'x=u'xvx-ux·v'xvx2

For å få lik nevner kan vi multiplisere den første brøken med vx i telleren og nevneren:

f'x=u'x·vxvx·vx-ux·v'xvx2f'x=u'x·vx-ux·v'xvx2

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0