Hopp til innhold
Oppgave

Den deriverte til eksponentialfunksjonen

Her kan du øve på å derivere eksponentialfunksjoner.

Derivasjonsregel for eksponentialfunksjoner

f(x) = exf'(x) = exf(x) = axf'(x) = ax·lna    for a>0

2.4.60

Deriver funksjonene.

a) fx=2x+ln2

Løsning

fx = 2x+ln2f'x = 2x·ln2

b) fx = x5·5x

Løsning

f(x) = x5·5xf'(x) = x5'·5x+x5·5x'= 5x4·5x+x5·5xln5= x4·5x5+xln5

c) gx = e4x·3

Løsning

gx = e4x·3=3e4xg'x = 3e4x'= 3·4·e4x= 12e4x

d) fx = ex2

Løsning

Vi bruker kjerneregelen:

f(x) = ex2             ux = x2             u'(x)=2xf(u) = eu             f'(u)=euf'(x) = u'(x)·f'(u)= 2x·eu= 2xex2

2.4.61

Deriver funksjonene, og finn f'0.

a) fx=2x3+4ex-2

Løsning

f'x = 2x3+4ex-2f'x = 2·3x2+4ex = 6x2+4exf'0 = 6·02+4e0= 4

b) fx=12e2x

Løsning

fx = 12e2x               u=2xf'x = 12eu·u'= 12e2x·2= e2xf'0 = e2·0= 1

c) fx=3e-x3

Løsning

fx = 3e-x3fx = 3e-13x              u=-13xf'x = 3eu·u' = 3e-13x·-13= -e-13xf'0 = -e-13·0= -1

d) fx=3x+12e0,5x

Løsning

fx = 3x+12e0,5xfx = 3x12+12e0,5x            u=0,5xf'x = 3·12x-12+12eu·u'=32·1x+12e0,5x·0,5=32x+6e0,5x

Vi ser at f'(0) ikke er definert siden vi har 0 i nevneren.

2.4.62

Akersund er en liten by med 76 538 innbyggere. Det er forventet at innbyggertallet vil øke med 2,3 prosent per år.

a) Lag et funksjonsuttrykk ix som viser innbyggertallet i Akersund om x år.

Løsning

Innbyggertallet i Akersund om x år er

fx=76 538·1,023x

b) Hva forventer man at innbyggertallet i Akersund er om 10 år?

Løsning

f10 = 76 538·1,02310f(10) = 96 080,10

Man forventer at innbyggertallet i Akersund er 96 080 om 10 år.

c) Når forventes det at innbyggertallet i Akersund stiger til over 100 000 innbyggere?

Løsning

fx = 76 538·1,023x76 538·1,023x=100 000ln1,023x=ln100 00076 538x=ln100 00076 538ln1,023x11,76

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Det forventes at innbyggertallet i Akersund stiger til over 100 000 innbyggere om 12 år.

d) Lag et funksjonsuttrykk som viser den årlige økningen av innbyggertallet.

Løsning

fx = 76 538·1,023xf'(x) = 76 538·1,023x'= 76 538·ln1,023·1,023x= 1 740·1,023x

e) Når øker innbyggertallet med 1950 per år?

Løsning

f'x = 1 95076 538·1,023x·ln1,023 = 1 950

Vi bruker CAS i GeoGebra. Funksjonen til f'x ligger allerede inne i GeoGebra.

Vi ser at innbyggertallet øker med 1950 om fem år.

f) Hvor raskt øker innbyggertallet om 3 år?

Løsning

Vi bruker GeoGebra og finner f'3:

Innbyggertallet i Akersund øker med 1 863 innbyggere i året om 3 år.