Her skal du selv prøve å komme fram til den deriverte til eksponentialfunksjoner.
En eksponentialfunksjon er en funksjon gitt på formen
der variabelen opptrer som eksponent i en potens. Grunntallet i eksponenten er en konstant større enn null, og er en konstant.
Det er et tall som peker seg spesielt ut som grunntall i eksponentialfunksjonen, og det er tallet
Utforsk
På figuren under ser du den blå grafen til funksjonen gitt ved fx=ex. Her er det et svart punkt som du kan trekke opp eller ned langs grafen. Den stiplede linja viser tangenten til punktet på grafen.
Dra i punktet på figuren over, og observer koordinatene til punktet og likningen til tangenten. Ser du noen sammenheng?
Vi observerer
Vi ser at andrekoordinaten til punktet er det samme som stigningstallet til tangenten i punktet. fx er jo andrekoordinaten til punktet x, og stigningstallet til tangenten er den deriverte til f.
Hvordan kan du beskrive det du fant over rent matematisk?
Vi observerer
Den deriverte til funksjonen fx=ex er funksjonen selv.
Konklusjonen blir at eksponentialfunksjonen f gitt ved fx=ex er lik sin egen deriverte:
f(x)=ex⇒f'(x)=ex
Dette gjør tallet e til et av de viktigste tallene i matematikken. Husk at tallet e også er grunntallet til den naturlige logaritmen.
Legg også merke til at når fx=kex, der k er en konstant, er f'x=kex.
Hva gjør vi når eksponenten er en funksjon av x?
Når eksponenten er en funksjon av x, bruker vi kjerneregelen, for eksempel slik: