Hopp til innhold
Oppgave

Den deriverte til logaritmefunksjonen

Her kan du øve på å derivere funksjonsuttrykk som inneholder logaritmer.

2.4.70

Deriver funksjonene.

a) fx=2lnx

Løsning

fx = 2lnx = 2·lnxf'x = 2·lnx'= 2·1x = 2x

b) fx=ln2x

Løsning

fx = ln2x = ln2+lnxf'x = 0+1x = 1x

c) fx=lnx2

Løsning

fx= lnx2 = 2·lnxf'x = 2·lnx'= 2·1x= 2x

2.4.71

Deriver funksjonene.

a)fx=ex+lnx

Løsning

fx = ex+lnxf'x = ex+1x

b) g(x)=ex·lnx

Løsning

g(x) = ex·lnxg'(x) = ex'·lnx+ex·lnx' = ex·lnx+ex·1x = xex·lnx+exx = exx·lnx+1x

c) hx=exlnx

Løsning

hx=exlnxh'x = ex'·lnx-ex·1xlnx2 = ex·lnx·x-ex1x·xlnx2·x= exxlnx-1xlnx2

2.4.72

a) Vi har funksjonen fx=2·3x+5lnx. Hva er den momentane vekstfarten når x=3?

Løsning

fx=2·3x+5lnx

Det er den deriverte som gir oss svaret på dette, så vi må finne f'(3):

f'x = 2·3x·ln3+5·1x= 23xln3+5xf'3 = 233ln3+53= 60,9961,0

b) Vi har funksjonen gt=4(lnt)2. Hva er den momentane vekstfarten når t=3?

Løsning

gt=4(lnt)2

Vi bruker kjerneregelen og regel for derivasjon av logaritmefunksjoner:

u=lntu'=1tg(u)=4u2g'u=8ug't=u'·g'u=1t·8·lnt8lnttg'3=8·ln332,93

2.4.73

Tømrerfirmaet Furefoss AS har en årsomsetning som er gitt ved  Tx = 2xln3x+5-12. Her er x tida målt i år, og Tx er årsomsetningen gitt i millioner kroner.

a) Hvor stor er årsomsetningen om 3 år?

Løsning

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Dette vil si at årsomsetningen er cirka 3,8 millioner kroner om 3 år.

b) Når er årsomsetningen over 20 millioner kroner?

Løsning

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Det vil ta omtrent 5 år og 3 måneder til firmaet har en årsomsetning på 20 millioner kroner. Avrundet til hele år vil det ta 6 år før firmaet har en årsomsetning på over 20 millioner kroner.

c) Lag et uttrykk som viser hvor raskt årsomsetningen øker per år.

Løsning

Det er den deriverte som gir oss økningen i årsomsetning. Vi bruker CAS i GeoGebra:

d) Hvor raskt øker årsomsetningen om fem år?

Løsning

Vi bruker GeoGebra:

Om fem år øker årsomsetningen med 7,5 millioner kroner per år.