Hopp til innhold
Oppgave

Grunnleggende derivasjonsregler

Her kan du øve på de grunnleggende derivasjonsreglene.

Oppgave 1

fx=π

Bruk definisjonen til den deriverte til å derivere fx.

Definisjonen til den deriverte

f'x=limx0fx+x-fxx

Løsning

fx = πf'x=limx0fx+x-fxx=limx0π-πx=0

Oppgave 2

Deriver funksjonene ved å bruke regneregler for derivasjon.

a) fx=5

b) y=e

c) gx=π+5

d) hx=5π3

e) ix=2b

f) jx=x+d

g) kx=3y+8

Løsning

a) fx = 5f'x = 0

b) y = ey' = 0

c) gx = π+5g'x = 0

d)  hx = 5π3h'x = 0

e) ix = 2bi'x = 0

f) jx = x+dj'x = 1

g) kx = 3y+8k'x = 0

Oppgave 3

Vi har funksjonen fx=7.

Tegn funksjonen med digital graftegner, finn stigningstallet til funksjonen, og forklar med egne ord hvorfor stigningstallet er det det er.

Løsning

Vi tegner fx med digital graftegner:

Stigningstallet til fx er lik 0. Det kan man finne med digital graftegner, se bildet over der a = 0. Når stigningstallet er 0, har grafen ingen positiv eller negativ stigning. Den er 0 for hele fx.

Oppgave 4

Deriver funksjonene uten hjelpemidler.

a) fx=x2

Løsning

fx = x2f'x = 2x2-1 = 2x

b) yx=x5

Løsning

yx = x5y'x = 5x5-1 = 5x4

c) gx=5x7

Løsning

gx = 5x7g'x = 5·7x7-1 = 35x6

d) yx=x-5

Løsning

yx = x-5y'x = -5x-5-1    = -5x-6     eller = - 5x6

e) gx=3x-4

Løsning

gx = 3x-4g'x = 3·-4x-4-1 = -12x-5   eller = -12x5

f) ft=-6t3

Løsning

ft = -6t3f't = -6·3t3-1 = -18t2

Oppgave 5

Deriver funksjonene uten hjelpemidler.

a) fx=x0

Løsning

fx = x0 = 1f'x = 0

b) yx=1x5

Løsning

yx = 1x5 = x-5y'x = -5x-6 = -5x6

c) gx=5x

Løsning

gx = 5x = 5x12g'x = 5·12·x12-1 = 52x-12= 52x12 = 52x

d) zt=1t

Løsning

zt = 1t= t-12zt' = -12t-12-22 = -12t-32 = -12t32 = -12t22·t12 = -12t·t

e) f(t)=3x2

Løsning

Husk at her skal vi derivere med hensyn på t.

f(t) = 3x2f't = 0

f) ft=2t3

Løsning

ft = 2t3f't = 2·3t2

Oppgave 6

Deriver funksjonsuttrykkene ved hjelp av reglene du har lært.

a) fx=4x3-7x

Løsning

fx = 4x3-7xf'x = 4·3x3-1-7 = 12x2-7

b) gx=3x3+x-2

Løsning

gx = 3x3+x-2g'x = 3·3x3-1+1 = 9x2+1

c) gx=12x2-2x+7

Løsning

gx = 12x2-2x+7g'x = 12·2·x2-1-2 = x-2

d) gt=22t3+3

Løsning

gt = 22t3+3g't = 2(2·3t3-1) = 2(6t2) = 12t2

e) hx = 2x+3x+1

Løsning

hx = 2x+3x+1 = 2x·x+2x·1+3·x+3·1 = 2x2+2x+3x+3 = 2x2+5x+3h'x = 2·2x2-1+5 = 4x+5

f) ix = x33+x44

Løsning

ix = x33+x44 = 13·x3+14·x4i'x = 13·3x3-1+14·4x4-1 = x2+x3

Oppgave 7

Deriver funksjonsuttrykkene ved hjelp av reglene du har lært. Finn deretter f'0 og f'2.

a) fx=x2-6

Løsning

fx = x2-6f'x = 2xf'0= 2·0= 0f'2 = 2·2= 4

b) fx=-3x3+5x2-2

Løsning

fx=-3x3+5x2-2f'x=-3·3x3-1+5·2x2-1=-9x2+10xf'0=0f'2=-9·22+10·2 =-16

c) fx=3x3-12x2+5x

Løsning

fx = 3x3-12x2+5xf'x = 3·3x3-1-12·2x2-1+5 = 9x2-x+5f'0 = 9·02-0+5 = 5f'2 = 9·22-2+5= 39

d) fx=1214x2-12x

Løsning

fx = 1214x2-12xf'x = 1214·2x-12 = 1212x-12 = 14x-14f'0 = 14·0-14 = -14f'2 = 14·2-14 =14

Oppgave 8

Vi tester ut derivasjon med ulike hjelpemidler.

a) Uten hjelpemidler: Deriver funksjonen  fx=4x2+5x, og finn f'0 og f'1.

Løsning

fx = 4x2+5xf'x = 4·2x2-1+5 = 8x+5f'0 = 8·0+5 = 5f'1 = 8·1+5 = 13

b) Deriver funksjonen, og finn stigningen i punktene på grafen til f der  x=0  og  x=1  ved hjelp av CAS.

Løsning

Vi bruker CAS til å løse oppgaven:

c) Bruk digital graftegner til å finne den momentane vekstfarten til funksjonen når  x=0  og  x=1.

Løsning

Vi skriver inn funksjonsuttrykket. Vi bruker kommandoen Tangent(<x-verdi>,<Funksjon>) og tegner tangenter som berører grafen i punktene  x=0  og  x=1. Vi bruker Stigning(<Linje>) og finner stigningen på tangentene. I punktet  x=0  er stigningen 5, og i punktet  x=1  er stigningen 13.

d) Hvis funksjonsuttrykket  fx=4x2+5x  viser antall bakterier i en liten bakteriekultur og x er antall minutter etter midnatt, hva viser da f'0 og f'1?

Løsning

f'0=5  forteller oss at ved midnatt vokste bakteriekulturen med 5 bakterier i minuttet, mens f'1=13  forteller oss at kl. 01.00 om natten vokste bakteriekulturen med 13 bakterier i minuttet.

Oppgave 9

Løs oppgavene ved regning uten hjelpemidler.

a) Finn f'1 når  fx = 2x4-x2+π

Løsning

fx = 2x4-x2+πf'x = 2·4x4-1-2x2-1 = 8x3-2xf'1 = 8·13-2·1 = 6

b) Finn f'0,5 når  fx = 2a+3x2

Løsning

fx = 2a+3x2f'x = 0+3·2x2-1 = 6xf'0,5 = 6·0,5 = 3

c) Finn f'0 når  fx=3x2-b2

Løsning

fx  = 3x2-b2f'x = 3·2x2-1-0 = 6xf'0 = 6·0 = 0

d) Finn f'-1,5 når  f(t)=2x+3t2

Løsning

ft = 2x+3t2f't = 0+3·2t = 6tf'-1,5 = 6·-1,5 = -9

Oppgave 10

Deriver uttrykkene under uten hjelpemidler.

a) fx = 3x2-z2

Løsning

fx  = 3x2-z2     fx viser at vi skal                  derivere med hensyn  x.f'x = 3·2x = 6

b) ft=2x3-4t2+t

Løsning

ft = 2x3-4t2+t   ft viser at vi skal                        derivere med hensyn  t.f't = 0-4·2t+1 = -8t+1

c) gx=x3-2z2+x+π

Løsning

 gx = x3-2z2+x+πg'x = 3x2-0+1+0 = 3x2+1

d) gz = x3-2z2+x+π

Løsning

gz = x3-2z2+x+πg'z = 0-2·2z+0+0= -4z

Oppgave 11

Vi har uttrykket  x2+2z-2xz.

a) Deriver uttrykket med hensyn på x.

Løsning

2x+0-2z = 2x-2z

b) Deriver uttrykket med hensyn på z.

Løsning

0+2-2x = 2-2x

c) Deriver uttrykket med hensyn på t.

Løsning

0+0-0 = 0

Oppgave 12

Vi har uttrykket  3x4-7xy2+2xz-13z3.

a) Deriver uttrykket med hensyn på x.

Løsning

3·4x4-1-7y2+2z-0 = 12x3-7y2+2z

b) Deriver uttrykket med hensyn på y.

Løsning

0-7x·2y+0-0 = 14xy

c) Deriver uttrykket med hensyn på z.

Løsning

0-0+2x-13·3z3-1 = 2x-z2


d) Deriver uttrykket med hensyn på t.

Løsning

0-0+0-0=0