Her kan du øve på de grunnleggende derivasjonsreglene.
Oppgave 1
Bruk definisjonen til den deriverte til å derivere fx.
Definisjonen til den deriverte
f'x=lim∆x→0fx+∆x-fx∆x
Løsning
fx=πf'x=lim∆x→0fx+∆x-fx∆x=lim∆x→0π-π∆x=0
Oppgave 2
Deriver funksjonene ved å bruke regneregler for derivasjon.
a) fx=5
b) y=e
c) gx=π+5
d) hx=5π3
e) ix=2b
f) jx=x+d
g) kx=3y+8
Løsning
a) fx=5f'x=0
b) y=ey'=0
c) gx=π+5g'x=0
d) hx=5π3h'x=0
e) ix=2bi'x=0
f) jx=x+dj'x=1
g) kx=3y+8k'x=0
Oppgave 3
Vi har funksjonen fx=7.
Tegn funksjonen med digital graftegner, finn stigningstallet til funksjonen, og forklar med egne ord hvorfor stigningstallet er det det er.
Løsning
Vi tegner fx med digital graftegner:
Stigningstallet til fx er lik 0. Det kan man finne med digital graftegner, se bildet over der a=0. Når stigningstallet er 0, har grafen ingen positiv eller negativ stigning. Den er 0 for hele fx.
b) Deriver funksjonen, og finn stigningen i punktene på grafen til f der x=0 og x=1 ved hjelp av CAS.
Løsning
Vi bruker CAS til å løse oppgaven:
c) Bruk digital graftegner til å finne den momentane vekstfarten til funksjonen når x=0 og x=1.
Løsning
Vi skriver inn funksjonsuttrykket. Vi bruker kommandoen Tangent(<x-verdi>,<Funksjon>) og tegner tangenter som berører grafen i punktene x=0 og x=1. Vi bruker Stigning(<Linje>) og finner stigningen på tangentene. I punktet x=0 er stigningen 5, og i punktet x=1 er stigningen 13.
d) Hvis funksjonsuttrykket fx=4x2+5x viser antall bakterier i en liten bakteriekultur og x er antall minutter etter midnatt, hva viser da f'0ogf'1?
Løsning
f'0=5 forteller oss at ved midnatt vokste bakteriekulturen med 5 bakterier i minuttet, mens f'1=13 forteller oss at kl. 01.00 om natten vokste bakteriekulturen med 13 bakterier i minuttet.