Rasjonale funksjoner og vertikale asymptoter

Det er en rasjonal funksjon, siden telleren og nevneren er polynomer. En rasjonal funksjon er ikke definert når nevneren er lik $0$, og funksjonen til $f$ er ikke definert for de $x$-verdiene som gjør at nevneren blir $0.$

$\begin{array}{|cccccccccccc|}\hline x& 0& 1& 2& 3& 3,5& 3,99& 4& 4,01& 5& 6& 7\\ f\left(x\right)& -1& -2& -4& -10& -22& -1198& & 1202& 14& 8& 6\\ \hline\end{array}$

Når $x$-verdier nærmer seg 4 fra den negative sida av $x$-aksen, slik som når $x$ er lik 3,99 i verditabellen, minker verdien til $f\left(x\right)$ mye. Grafen avtar raskt. Når $x$-verdier nærmer seg $4$ fra den positive sida av $x$-aksen, slik som når $x$ er lik $4,01$ i verditabellen, stiger verdien til $f\left(x\right)$ mye. Grafen vokser raskt.

Det er ikke mulig å finne en $f\left(x\right)$-verdi for $x$ er lik $4$, siden nevneren blir $0.$ Grafen eksisterer ikke for $x=4$.

Vi setter nevneren lik $0$ for å finne den vertikale asymptoten:

$\begin{array}{rcl}x-4 & =& 0\\ x & =& 4\end{array}$

Vi har funnet en vertikal asymptote for $x=4.$

Vi tegner grafen til $f\left(x\right)=\frac{2x+4}{x-4}$:

Vi velger kommandoen Asymptote(<Funksjon>) og skriver $f$ for "funksjon". Da finner vi den vertikale asymptoten, ei rød stiplet linje, for $x=4.$

Linja $y=2$, den røde stiplede linja, er en horisontal asymptote for $f$. Den viser hvilken verdi grafen nærmer seg når $x$ vokser mot $\pm \infty .$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \pm 2}{\lim }f\left(x\right) & =& \underset{x\to \pm 2}{\lim }\frac{3x+6}{x^2-4} = \underset{x\to \pm 2}{\lim }\frac{3\left(\cancel{x+2}\right)}{\left(\cancel{x+2}\right)(x-2)}\\ & =& \underset{x\to \pm 2}{\lim }\frac{3}{\left(x-2\right)} \end{array}$

$\underset{x\to +2}{\lim }\frac{3}{(x-2)}=\frac{3}{\left(2-2\right)}=\frac{3}{0}=+\infty$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to -2}{\lim }\frac{3}{\left(x-2\right)}& =& \frac{3}{-2-2} ==- \frac{3}{4} \end{array}$

Vi bruker CAS i GeoGebra. Vi velger kommandoen Grenseverdi ( <Uttrykk> , <Verdi> ) og får:

Funksjonen eksisterer ikke for når $x=2$, mens den får verdien $f\left(x\right)=-\frac{3}{4}$ når $x=-2.$ Funksjonen har ingen asymptote i $x=-2$, siden vi kan forkorte uttrykket og få $\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \frac{3x+6}{x^2-4}\\ & =& \frac{3\left(\cancel{x+2}\right)}{\left(\cancel{x+2}\right)(x-2)}\\ & =& \frac{3}{x-2}\end{array}$

Vi setter nevneren lik $0.$

$\begin{array}{rcl}{x}^2-4 & =& 0\\ x^2 & =& 4\\ x & =& 2 \vee x =-2\end{array}$

Vi undersøker om $x=2$ er en vertikal asymptote.

Så setter vi $x=2$ inn i telleren: $3·2+6=12.$

Telleren er et tall forskjellig fra null, og nevneren er null for  $x=2$, så $x=2$ er en vertikal asymptote.

Vi setter $x=-2$ inn i telleren: $3·(-2)+6=0.$

Både telleren og nevneren er null for $x=-2$ . Det gir et $\frac{0}{0}$-uttrykk. Funksjonen kan da ha en grenseverdi når $x$ nærmer seg $-2$. Grenseverdien fant vi i a). Grenseverdien for $x=-2$ er $-\frac{3}{4}.$ Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x=-2$.

Den vertikale asymptoten til $f$ lager ei rett linje som grafen til $f$ bare kan nærme seg, men ikke krysse.

Grafen til $f\left(x\right)=\frac{3x+6}{x^2-4}$:

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for $x$-verdier som gir $0$ i nevneren. Vi setter nevneren lik $0$:

$\begin{array}{rcl}{x}^2+4 & =& 0\\ x^2 & =& -4\end{array}$

Det er ingen $x$-verdier som gir $0$ i nevneren.

Definisjonsområdet for $f$ er $D_f=ℝ$. Funksjonen har ingen vertikale asymptoter, siden den er definert for alle verdier av $x.$

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for $x$-verdier som gir $0$ i nevneren. Vi setter nevneren lik $0$:

$$\begin{gathered} x^2-4 = 0 \\ {x}^{2 }= 4 \\ x = 2 \vee x = -2 \end{gathered}$$

Vi sjekker om telleren blir $0$ for $x=2$: $2+1=3.$

Vi sjekker om telleren blir $0$ for $x=-2$: $-2+1=-1.$

Både $x=2$ og $x=-2$ er asymptoter for $f\left(x\right).$ Definisjonsområdet for $g$ er $D_g=ℝ\backslash \left\{-2, 2 \right\}$.

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for x-verdier som gir 0 i nevneren. Vi setter nevneren lik 0:
$\begin{array}{rcl}{x}^2-x & =& 0\\ x(x-1) & =& 0\\ x & =& 0 \vee x = 1\end{array}$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x=0$: $4·0^2=0$. Det gir et $\frac{0}{0}$-uttrykk. Funksjonen kan da ha en grenseverdi når $x$ nærmer seg null.

Grenseverdien finner vi slik:

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^2}{x^2-x} & =& \underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x^{\cancel{2}}}{\cancel{x}(x-1)}\\ & =& \frac{4·0}{0-1} = \frac{0}{-1} = 0\end{array}$

Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x=0$.

Vi sjekker om telleren blir $0$ for $x=1$: $4·1^2=4$. Telleren er et tall forskjellig fra null, og nevneren er null for $x=1$, så  $x=1$ er en vertikal asymptote. Definisjonsområdet for $h$ er $D_h=ℝ\backslash \left\{1 \right\}$.

Funksjonen er en rasjonal funksjon, og den er ikke definert for $x$-verdier som gir $0$ i nevneren. Vi setter nevneren lik $0$: $\begin{array}{rcl}{x}^2+5x+6 & =& 0\\ (x+2)·(x+3) & =& 0\\ x& = & -2 \vee x = -3\end{array}$.

Vi sjekker om telleren blir $0$ for $x=-2$: $(-2{)}^2-(-2) = 4+2 = 6$.

Vi sjekker om telleren blir $0$ for $x=-3$: $(-3{)}^2-2=9-2=7$.

Både $x=-2$ og $x=-3$ er asymptoter for $i\left(x\right)$. Definisjonsområdet for $i$ er $D_i=ℝ\backslash \left\{ -2, -3 \right\}.$

Vi setter nevneren lik $0$:

$\begin{array}{rcl}x-1 & =& 0\\ x & =& 1\end{array}$

Vi sjekker om telleren blir $0$ for $x=1:$ $1+3=4$. $x=1$ er en vertikal asymptote for $f.$ Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for $x=1$, og at grafen ikke kan krysse linja $x=1.$ Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x=1$ fra

venstre side: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

høyre side: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\infty$

Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:

Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-9 & =& 0\\ x^2 & =& 9\\ x & =& \pm 3\end{array}$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x=3$: $3^2-4=5$.

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x=-3$: $(-3{)}^2-4=5$.

Både $x=-3$ og $x=3$ er vertikale asymptoter for $g$. Det betyr at funksjonen ikke eksisterer for $x=-3$ og $x=3$, og at grafen ikke kan krysse linjene som er asymptoter.

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x=-3$ fra

venstre side: $\underset{x\to -3^{-}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$

høyre side: $\underset{x\to -3^{+}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x=3$ fra

venstre side: $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

høyre side: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$

Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:

Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-5x-6 & =& 0\\ (x-6)(x+1) & =& 0\\ x& =& 6 \vee x=-1\end{array}$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x=6$: $6^2-3 = 36-3 = 33$ $x=6$ er en vertikal asymptote for $h\left(x\right).$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x=-1$: ${\left(-1\right)}^2-3 = 1-3 = -2$ $x=-1$ er en vertikal asymptote for $h\left(x\right)$.

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x=6$ fra

venstre side: $\underset{x\to 6^{-}}{\lim }h\left(x\right)=-\infty$

høyre side: $\underset{x\to 6^{+}}{\lim }h\left(x\right)=+\infty$

Så ser vi på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x=-1$ fra

venstre side: $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }h\left(x\right)=-\infty$

høyre side: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }h\left(x\right)=+\infty$

Vi tegner grafen med GeoGebra og finner asymptotene:

Vi setter nevneren lik 0:

$\begin{array}{rcl}{x}^2& =& 4\\ x & =& \pm 2\end{array}$

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x=2$ : $2+2=4$ $x=2$ er en vertikal asymptote for $i\left(x\right)$.

Vi sjekker om telleren blir 0 for $x=-2$: $-2+2=0$ $x=-2$ er ikke en vertikal asymptote for $i\left(x\right)$.

Vi ser på hva som skjer når grafen nærmer seg asymptoten $x=2$ fra

venstre side: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }i\left(x\right)=-\infty$

høyre side: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }i\left(x\right)=\infty$

Så tegner vi grafen med GeoGebra og finner asymptotene: