Grenseverdi for en brøk når den variable går mot uendelig

For noen funksjoner vil funksjonsverdiene nærme seg en bestemt grenseverdi dersom $x$ blir veldig stor. For rasjonale funksjoner vil dette ofte være tilfelle.

I det rasjonale uttrykket $\frac{6x^2}{2x^2+4}$ vil tallet 4 i nevneren få svært liten betydning når absoluttverdien til $x$ blir veldig stor. Brøken vil da oppføre seg som brøken $\frac{6x^2}{2x^2}$ som igjen er lik $\frac{6}{2}=3$. Dette indikerer at $\frac{6x^2}{2x^2+4}$ har tallet 3 som grenseverdi når $x$ enten blir uendelig stor eller uendelig liten.

En annen måte å begrunne dette på er å dividere teller og nevner med den høyeste potens av $x$ som forekommer i uttrykket. I dette tilfellet er det $x^2$ . Vi får at

$\frac{6x^2}{2x^2+4}=\frac{{\displaystyle \frac{6x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}=\frac{6}{2+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}$

Når $x$ vokser over alle grenser, vil $\frac{4}{x^2}$ gå mot null. Da vil brøken $\frac{6x^2}{2x^2+4}$ nærme seg $\frac{6}{2}=3.$ Det samme resonnementet gjelder om $x$ går mot minus uendelig. Vi har derfor at

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{6x^2}{2x^2+4}=3$

Denne skrivemåten betyr at grenseverdien er lik 3 både når $x$ går mot pluss uendelig og mot minus uendelig.

Vi kan føre regningen på følgende måte:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x^2}{2x^2+4}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{6x^2}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{2x^2}{x^2}+\frac{4}{x^2}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6}{2+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}=\frac{6}{2+0}=3$

Vi sier at den horisontale linjen $$ y=3 $$ er en horisontal asymptote til grafen til uttrykket når $x$ går mot $\infty$ eller $-\infty$. Nedenfor har vi tegnet grafen til $$ f\left(x\right)=\frac{6x^2}{2x^2+4} $$ sammen med asymptotelinja $$ y=3$$.

Ved CAS i GeoGebra får vi samme svar. Når du skal skrive inn uendelig, kan du skrive inf ("infinity", uendelig).