Fag

Emne

Grenseverdi

Fagstoff

Video

Grenseverdi for en brøk når den variable går mot uendelig

Vi er ofte også interessert i å finne ut hvordan det går med funksjoner når den variable vokser eller avtar uten grenser. Det vil si at den ukjente variabelen går mot pluss uendelig eller minus uendelig.

Definisjon av grenseverdi når x går mot uendelig

For noen funksjoner vil funksjonsverdiene nærme seg en bestemt grenseverdi dersom x blir veldig stor. For rasjonale funksjoner vil dette ofte være tilfelle.

Vi sier at $f (x)$ nærmer seg A som grenseverdi når x blir uendelig stor, hvis det er slik at vi kan få avstanden mellom $f (x)$ og A så liten vi bare måtte ønske, hvis vi velger x stor nok.

Vi skriver

$\lim_{x \to \infty} f (x) = A$

Det tilsvarende gjelder når den variable går mot minus uendelig.

Eksempel

Vi ønsker å finne

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$

I det rasjonale uttrykket $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ vil tallet 4 i nevneren få svært liten betydning når x blir veldig stor. Brøken vil da oppføre seg som brøken $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2}}$ som igjen er lik $\frac{6}{2} = 3$ . Dette tyder på at $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ har tallet 3 som grenseverdi når x enten blir uendelig stor eller uendelig liten.

En annen måte å begrunne dette på er å dividere teller og nevner med den høyeste potensen av x som finnes i uttrykket. I dette tilfellet er det $x^{2}$ . Vi får at

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} = \frac{6}{2 + \frac{4}{x^{2}}}$

Når x vokser over alle grenser, vil $\frac{4}{x^{2}}$ gå mot null. Da vil brøken $\frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ nærme seg $\frac{6}{2} = 3 .$ Det samme resonnementet gjelder om x går mot minus uendelig. Vi har derfor at

$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = 3$

Denne skrivemåten betyr at grenseverdien er lik 3 både når x går mot pluss uendelig og mot minus uendelig.

Vi kan føre regningen på følgende måte:

$\lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{6}{2 + \frac{4}{x^{2}}} = \frac{6}{2 + 0} = 3$

Vi sier at den horisontale (vannrette) linja $y = 3$ er en horisontal asymptote til grafen til uttrykket når x går mot $\infty$ eller $- \infty$ . Nedenfor har vi tegnet grafen til $f (x) = \frac{6 x^{2}}{2 x^{2} + 4}$ sammen med asymptotelinja $y = 3$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik 6 x i andre delt på parentes 2 x i andre pluss 4 parentes slutt er tegna i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 8 og 9. I tillegg er den rette linja y er lik 3 tegnet. Grafen til f kryper tett opp til linja når x blir veldig stor eller veldig liten. Skjermutklipp.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes 6 x i andre delt på parentes 2 x i andre pluss 4 parentes slutt komma, uendelig parentes slutt. Svaret er 3. Skjermutklipp.

Vi kontrollerer svaret med CAS i GeoGebra. Når du skal skrive inn uendelig, kan du skrive inf ("infinity", uendelig).

Film: Grenseverdier for en brøk når x går mot pluss/minus uendelig

I filmen under (lengde 3:27) får du en gjennomgang av eksempelet over.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0