Grenseverdier til polynomer og rasjonale uttrykk

Grenseverdier til polynomfunksjoner

Eksempel

$\underset{x\to 4}{\lim } \left(x^2-3x+3\right)=4^2-3·4+3=7$

Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen "Grenseverdi()", som vist på bildet.

Grenseverdien til en rasjonal funksjon

Rasjonale funksjoner består av polynomfunksjoner i teller og nevner. Vi kan også her finne grenseverdier ved innsetting. Forutsetningen er at vi ikke får null i nevner.

Vi skiller mellom tre ulike situasjoner.

1. Grenseverdi for en brøk der nevneren ikke går mot null

Eksempel

Vi ser på brøkene $\frac{x+5}{x-1}$ og $\frac{x-3}{x-1}$ når x går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiene direkte ved å sette inn 3 i stedet for x og regne ut.

$\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{\lim } \frac{x+5}{x-1}=\frac{3+5}{3-1}=\frac{8}{2}=4\\ \\ \underset{x\to 3}{\lim } \frac{x-3}{x-1}=\frac{3-3}{3-1}=\frac{0}{2}=0\end{array}$

2. Grenseverdi for en brøk der nevneren går mot null, men telleren ikke går mot null

Vi ser på brøken $\frac{2x-1}{x^2-4}$. Hva skjer med brøken når x går mot 2?

Oppgave

Prøv å sette inn tall som er nære 2. Hva får du?

Nedenfor viser vi hvordan vi kan regne en slik oppgave.

Eksempel

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-6}{x-2}\\ \\ 2^2-6=-2\\ \\ 2-2=0\end{array}$

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-6}{x-2}$ eksisterer ikke.

Med CAS i GeoGebra får vi et spørsmålstegn til svar. Tilsvarende som når det ikke eksisterer en løsning på en likning, betyr dette at grenseverdien ikke eksisterer.

3. Grenseverdi for en brøk der både telleren og nevneren går mot null

Vi ser på brøken $\frac{x^2-16}{2x-8}$. Når $x=4$, får vi null både i telleren og nevneren.

I slike tilfeller kan vi sjekke om vi kan faktorisere og forkorte. Vi prøver:

$\underset{x\to 4}{\lim } \frac{x^2-16}{2x-8}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\left(\cancel{x-4}\right)\left(x+4\right)}{2\left(\cancel{x-4}\right)}=\underset{x\to 4}{\lim } \frac{\left(x+4\right)}{2}=\frac{4+4}{2}=4$

Kanskje du lurer på hvorfor det er greit å sette inn $x=4$ i uttrykket når det opprinnelige uttrykket ikke gjelder for denne x-verdien? Svaret er at dersom to funksjoner f og g er like for alle verdier i nærheten av a, men ikke nødvendigvis for $x=a$, så er

$\underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim } g\left(x\right)$

Vi viser ikke denne påstanden her. I eksempelet vårt er $f\left(x\right)=\frac{x^2-16}{2x-8}$ og $g\left(x\right)=\frac{\left(x+4\right)}{2}$, og funksjonene oppfyller kravet i påstanden.

Nedenfor viser vi hvordan en slik oppgave kan regnes for hånd.

Eksempel

Vi skal finne

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2+x-6}{x-2}\end{array}$

Utrekning:

$\begin{array}{rcl}{2}^2+2-6& = & 0\\ 2-2& =& 0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x-2} & =& \underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(\cancel{x-2}\right)\left(x+3\right)}{\cancel{x-2}}\\ & =& \underset{x\to 2}{\lim }\left(x+3\right)\\ & =& 2+3=5\end{array}$

Eksempel

Vi skal finne

$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3x-12}$

Utrekning:

$\begin{array}{rcl}6\left(\sqrt{4}-2\right) & =& 6·0=0\\ 3·4-12 & =& 12-12=0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3x-12} & =& \underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3\left(x-4\right)}\\ & =& \underset{x\to 4}{\lim }\frac{6\left(\sqrt{x}-2\right)}{3\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ & =& \underset{x\to 4}{\lim }\frac{2}{3\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ & =& \frac{2}{\sqrt{4}+2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\end{array}$

Film: Grenseverdier for ulike funksjoner

I filmen under (lengde 4:33) får du en gjennomgang av de tre eksemplene om grenseverdier til rasjonale funksjoner.