Fag

Emne

Grenseverdi

Fagstoff

Video

Rasjonale funksjoner og vertikal asymptote

Rasjonale funksjoner vil som regel ha en vertikal (loddrett) asymptote der nevneren i funksjonsuttrykket er null. Men dette gjelder ikke alltid!

Definisjon av en rasjonal funksjon

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.

Polynomene kan ha grad null, derfor er for eksempel også funksjonen $\frac{1}{x}$ en rasjonal funksjon.

Vertikal asymptote

Vi undersøker den rasjonale funksjonen f gitt ved

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 2}$

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi undersøker om $f (x)$ har noen grenseverdi når x nærmer seg $- 2$ . Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg.

$\begin{array}{rcl} (- 2) - 2 & = & - 4 \\ (- 2) + 2 & = & 0 \end{array}$

Det betyr at $\lim_{x \to - 2} \frac{x - 2}{x + 2}$ ikke eksisterer.

Når x nærmer seg verdien $- 2$ fra venstre, vokser funksjonsverdiene over alle grenser.

Vi skriver

$f (x) \to \infty$ når $x \to - 2^{-}$ eller

$\lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = \infty$

Legg merke til hvordan vi markerer at x nærmer seg $- 2$ fra venstre.

Når x nærmer seg verdien $- 2$ fra høyre, avtar funksjonsverdiene uten grenser.

Vi skriver

$f (x) \to - \infty$ når $x \to - 2^{+}$ eller

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = - \infty$

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 9 og 7. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik minus 2 tegna. Grafen til f kryper inntil linja og er stigende når x nærmer seg minus 2 fra den negative siden og kryper inntil linja og er synkende når x nærmer seg minus 2 fra den positive siden. Skjermutklipp.

Definisjon av vertikal asymptote

Hvis en funksjon $f (x) \to \infty$ eller $f (x) \to - \infty$ når $x \to a$ fra den ene eller andre siden, så er linjen $x = a$ en vertikal asymptote for grafen til f.

Når x nærmer seg a, så vil grafen nærme seg linja $x = a$ .

Vi kan derfor si at $x = a$ er en vertikal asymptote for en rasjonal funksjon $f (x)$ hvis nevneren blir null og telleren blir et tall forskjellig fra null for $x = a$ .

Dette betyr at linja $x = - 2$ er en vertikal asymptote for grafen til $f (x)$ i eksempelet over.

Eksempel

Vi ønsker å finne ut om grafen til funksjonen f nedenfor har en vertikal asymptote.

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x}$

Vi finner når nevneren er lik null.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x & = & 0 \\ x (x - 1) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x - 1 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

Det er her to mulige vertikale asymptoter, $x = 0$ og $x = 1$ .

Vi undersøker først om $x = 1$ er en vertikal asymptote ved å sette 1 inn i telleren.

$3 \cdot 1^{2} = 3$

Telleren er et tall forskjellig fra null og nevneren er null for $x = 1$ , så $x = 1$ er en vertikal asymptote.

Vi undersøker så om $x = 0$ er en vertikal asymptote. Telleren gir oss

$3 \cdot 0^{2} = 0$

Både teller og nevner er null for $x = 0$ . Funksjonen kan da ha en grenseverdi når x nærmer seg null.

Grenseverdien finner vi slik

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x \cdot x}{x \cdot (x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x}{(x - 1)} = \frac{3 \cdot 0}{0 - 1} = 0$

Grenseverdien eksisterer, og vi får ingen asymptote for $x = 0$ .

Film: Vertikal asymptote

I filmen under (lengde 4:59) får du en gjennomgang av det første eksempelet på siden.

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Film: Vertikal asymptote – eksempel

I filmen under (lengde 4:12) får du en gjennomgang av det andre eksempelet på siden.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0